Подгруппы группы

Определение. Группа называется подгруппой группы, еслии групповые операции и  совпадают на множестве .

Утверждение. Для того чтобы непустое подмножество группыбыло подгруппой, необходимо и достаточно выполнения следующих условий:

• если (единичный элемент группы принадлежит подгруппе);

• (существует обратный элемент).

Замечание. 1. В любой группе можно выделить по крайней мере две подгруппы:

• –подгруппу, содержащую только один единичный элемент.

• –подгруппу, совпадающую с самой группой.

2. В общем случае количество выделяемых подгрупп в группе зависит от мощности группы. Еслии множество– конечно, то конечно и количество выделяемых подгрупп. Если– бесконечно, то количество выделяемых подгрупп может быть как конечно, так и бесконечно.

Определение. Подгруппа называется собственной подгруппой, если:и.

В противном случае подгруппа называется несобственной илитривиальной. Итак,

–тривиальные подгруппы любой группы .