4. Множество точек любой прямой имеет мощность континуума.

Соответствующая биекция: .

5. Множество точек квадрата , то есть точек, у которых тоже имеет мощность континуума, то есть справедливо:

Доказательство. Как и ранее, каждую точку отрезка запишем в виде бесконечной десятичной дроби: … Соответствующая биекция задаётся формулами: (например, точке отрезка биекция сопоставляет точку квадрата, координаты которой таковы: , ) и эта биекция доказывает теорему.

Замечание. Аналогично доказывается, что и трёхмерный, и четырёхмерный куб, и куб любой конечной размерности имеет мощность континуума. Отсюда следует, что множество всех точек плоскости , трёхмерного пространства и любого конечномерного пространства имеет мощность континуума. Может показаться, что множеств с большей мощностью, чем мощность континуума, не существует. Но это не так. Рассмотрим множество всех подмножеств данного множества мощности . Его мощность обозначается как . Это обозначение связано с тем, что если множество конечно и содержит элементов, то число всех его подмножеств (включая несобственные) равно . Действительно, если обозначить элементы данного множества через , то каждому подмножеству этого множества взаимно однозначно соответствует упорядоченный набор из нулей и единиц, в котором единицы соответствуют элементам, вошедшим в подмножество, а нули — тем, которые не вошли. Для наглядности перечислим все подмножеств множества , состоящего из трёх элементов:

Теорема. Каково бы ни было множество мощности , существует множество большей мощности, например, .

Доказательство. То, что данное множество эквивалентно некоторому набору своих подмножеств, очевидно: оно эквивалентно набору одноэлементных подмножеств. Поэтому надо доказать, что не существует биекции между данным множеством и множеством всех его подмножеств. Предположим противное, то есть что существует биекция , сопоставляющая каждому элементу данного множества некоторое его подмножество . Возможны два варианта: 1) элемент входит в множество , которое ему сопоставляет биекция , такие элементы будем называть «хорошими»; 2) элемент не входит в множество , которое ему сопоставляет биекция , такие элементы будем называть «плохими». Рассмотрим подмножество всех «плохих» элементов. Этому подмножеству биекция сопоставляет некоторый элемент данного множества. Он не может быть «хорошим», так как входит в подмножество всех «плохих» элементов, и значит, он — «плохой». Но он не может быть и «плохим», так как иначе (то есть если бы он был «плохим») он входил бы в то множество «плохих» элементов, которое ему сопоставляет биекция , и, следовательно, был бы «хорошим». Итак, элемент — не является ни «хорошим», ни «плохим». Но каждый элемент обязательно либо «хороший», либо «плохой». Получили противоречие. Значит, предположение неверно, и теорема доказана.

Утверждение 1. Мощность бесконечного множества не изменится, если его объединить со счётным множеством.

Доказательство. Пусть — бесконечное множество, значит у него найдётся счётное подмножество . Пусть — счётное множество, следовательно, — также счётное множество. По определению счётного множества между множеством и множеством натуральных чисел можно установить биекцию. Таким же образом установим биекцию между и . Композиция этих биекций будет биекцией множеств и . В рамках того же отображения переведём оставшиеся элементы множества сами в себя, то есть элементы станут соответствовать самим себе. В итоге получим биекцию множеств и (элементы отображаются сами в себя, в , также в ), следовательно, по определению, эти множества равномощны.

Утверждение 2 (признак бесконечности множества). Множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству.

Доказательство. По определению: множество бесконечно тогда и только тогда, когда из него можно выделить собственное счётное подмножество . По предыдущему утверждению множества и равномощны, что и требовалось доказать.

Произведение двух мощностей и — мощность прямого произведения двух множеств и (), мощность одного из которых равна , а другого (очевидно, что произведение мощностей не зависит от выбора множеств и , а зависит только от их мощностей). Аналогично определяется — произведение любого числа мощностей.

Если , , то .

Выше мы доказали, что …