16. Приводимые и неприводимые многочлены в кольце . Примеры. Теорема о разложении в на произведение неприводимых множителей. Теорема Безу

Аналогично простым числам простые элементы в кольце имеют специальное название.

Приводимый над полем многочлен — многочлен в кольце , для которого выполняется для подходящих непостоянных многочленов . В противном случае называется неприводимым над .

Замечание. Приводимость или неприводимость данного многочлена существенно зависят от поля .

Примеры.

1. Многочлен неприводим над полем , но приводим над полем : .

2. Многочлен неприводим над полем , неприводим над , но приводим над .

Действительно, в — 3 и 4 — корни многочлена :

Замечание. Из равенства ясно, что линейные многочлены (то есть первой степени, ) неприводимы над любым полем.

Над полем (комплексные числа) неприводимы только линейные многочлены (вспомним основную теорему алгебры: любой многочлен имеет хотя бы один корень, вещественный или комплексный, откуда следует, что любой многочлен в раскладывается на линейные множители).

Над полем (вещественные числа) неприводимы, кроме линейных, квадратные многочлены с отрицательным дискриминантом.

Над полем (рациональные числа) существуют неприводимые многочлены любой степени.

Утверждение. Любой непостоянный многочлен в можно представить в виде произведения константы и неприводимых многочленов с единичными старшими коэффициентами. Это разложение единственно с точностью до порядка множителей.

Замечание. Это утверждение верно для многочленов от любого члена переменных над любым полем.

Теорема Безу. Пусть — коммутативное кольцо, , , тогда делит в том и только в том случае, когда в .

Доказательство.

Необходимость очевидна (если в , то есть , то есть , то есть ).

Для доказательства достаточности отметим, что для любого :

Действительно, при делении на даёт в остатке 0, а в частном . Тогда, очевидно, для , если же , то . Теорема доказана.