Декартово произведение групп

Прямое (декартово) произведение групп — новая группа, обозначаемая , элементами которой служат наборы (или, что то же самое, кортежи) элементов из данных групп. означает, что , причём , , а групповая операция «» состоит в том, что, если , то .

Это, действительно, группа, так как роль нейтрального элемента играет кортеж , где — нейтральный элемент -ой группы, а обратные элементы задаются формулой (очевидно, что ).

— -я степень группы означает -кратное умножение её самой на себя.

Пример. — абелева группа, состоящая из двух элементов 0 и 1 с групповой операцией сложения по модулю 2 «». Поэтому состоит из последовательной длины символов 0 или 1 с поэлементным сложением по модулю 2. Например, в : . Заметим еще, что в для любого элемента справедливо равенство , так что противоположный (обратный) элемент для любого элемента равен самому этому элементу: .