9. Идеал. Главный идеал. Теорема об идеалах поля (только и ). Следствие об идеалах в кольце Идеал

Левый идеал — подкольцо кольца , в котором .

Правый идеал — подкольцо кольца , в котором .

Двусторонний идеал — подкольцо кольца , в котором , то есть подкольцо кольца замкнуто относительно умножения на любой элемент кольца.

Когда — коммутативное кольцо, определения левого, правого и двустороннего идеалов совпадают. В таком случае используется просто слово «идеал».

Далее будем рассматривать только двусторонние идеалы и писать просто «идеал».

В кольце всегда есть два несобственных идеала — (нулевой идеал) и всё кольцо (пишут «единичный идеал»: ). То есть . Все остальные идеалы — собственные.

Примеры.

1. Множество чётных чисел образуют идеал в кольце всех целых чисел. Действительно, произведение любого чётного числа и любого целого числа есть чётное число, то есть принадлежит этому идеалу.

2. Множество — идеал в кольце .

3. Множество квадратных матриц порядка с элементами из некоторого коммутативного кольца — некоммутативное по умножению кольцо, поэтому в нём нужно различать односторонние и двухсторонние (настоящие) идеалы.

Пусть дано коммутативное кольцо и . Подмножество является идеалом в , который называется идеалом, порождённым элементами , и обозначается .

Главный идеал — идеал кольца , состоящий из кратных элемента (то есть порождается одним элементом ).

Кольцо главных идеалов — кольцо, в котором все идеалы главные.

Пример. — кольцо главных идеалов (все идеалы имеют вид , то есть порождаются одним элементом ). Доказательство. Пусть — произвольный идеал в . Если , то доказывать нечего. Если же в есть ещё элемент , то содержит и элемент (исходя из определений кольца и идеала), а один из этих элементов является положительным числом. Пусть — наименьшее положительное число в идеале . Если — произвольное число в идеале и — остаток от деления числа на число (понятно, что ), то . Так как и принадлежат идеалу , то число тоже принадлежит этому идеалу. Так как , то обязательно ( — наименьшее положительное число в идеале ). Следовательно, , то есть все числа идеала являются кратными числа . Отсюда следует, что ; следовательно, — главный идеал.

Пример. В кольце также все идеалы главные, так как вместе с любыми элементами идеал всегда содержит их НОД.

Теорема. Любое поле не содержит идеалов, кроме и .

Доказательство.

Так как в любом кольце всегда есть два несобственных идеала: и , то любое поле также имеет два несобственных идеала (любое поле является кольцом) — это очевидно.

Пусть — ненулевой идеал в поле . Так как — ненулевой, то в нём есть элемент . В поле всякий ненулевой элемент обратим: . Тогда ввиду замкнутости относительно умножения на любой элемент поля имеем: . То есть единица принадлежит идеалу . Тогда (ибо , а — идеал). То есть , и тогда, с учётом (по условию), имеем . То есть этот идеал совпадает со всем полем . Таким образом, из предположения, что идеал не является нулевым, мы вывели, что он совпадает со всем полем. Теорема доказана.

Замечание. В любом кольце , отличном от поля, любой необратимый элемент порождает идеал , отличный от и . Например, так как в кольце нет обратных элементов (кроме ), то — не поле и в нём существуют идеалы: …

Замечание. Всякий идеал в кольце является подкольцом. Обратное неверно. Например, кольцо целых чисел в поле рациональных чисел является подкольцом, но не идеалом.