15. Кольцо многочленов . Условия того, что кольцо — евклидово кольцо Кольцо многочленов

Многочлен (полином) от неизвестной над кольцом — выражение вида:

( полагаем равным .)

Элементы — коэффициенты многочлена; все они или их часть могут быть равны 0.

Степень многочлена — наибольшее такое, что . Обозначается: (). Если для всех , то .

Многочлен чисто символически обозначается , при этом не имеется в виду, что это отображение (функция).

Сумма и произведение двух многочленов определяются естественным образом:

— обозначение множества всех многочленов от с коэффициентами из .

Утверждение. Операции сложения и умножения определяют на множестве структуру кольца, тем самым превращают в кольцо. Многочлены нулевой степени вместе с 0 образуют подкольцо констант , изоморфное кольцу .

Утверждение. Если — кольцо без делителей 0, то в имеет место равенство:

Это очевидно, так как старший член многочлена — , где — старшие коэффициенты многочленов и соответственно, причём и , тогда старший член — (то есть ).

Следствие. Если — кольцо без делителей 0, то также не имеет делителей 0.

Утверждение. Для любого поля кольцо многочленов является евклидовым кольцом с нормой . Действительно, в поле нет делителей 0, введённая таким образом норма удовлетворяет всем аксиомам нормы и алгоритм деления многочленов также введён.

Следствие. В кольце обратимы ненулевые константы, и только они.