6. Группа подстановок. Симметрическая группа . Умножение подстановок. Нейтральный элемент. Обратная подстановка. Число элементов группы Группа подстановок

Пусть — конечное множество из элементов: .

Симметрическая группа степени — группа всех биекций (взаимно-однозначных отображений) множества в себя: . Число элементов (подстановок) симметрической группы: (число перестановок из ). Каждая биекция называется подстановкой (перестановкой) и записывается (природа элементов множества нас не интересует, значит можно считать, что элементы — числа):

Во второй строке записаны номера тех элементов, которым сопоставляются элементы из первой строки: . Поэтому в написанной матрице столбцы можно как угодно переставлять, подстановка останется той же.

Произведение двух подстановок и — результат проведения сначала первой из них, а затем второй (композиция отображений): .

Для этого представляют столбцы так, чтобы её первая строка совпадала со второй строкой ; тогда 1-ая строка есть первая строка , а вторая строка — есть вторая строка .

Некоторые математики иначе определяют произведение двух подстановок: . (Это связано с тем, что произведение подстановок, по существу, означает композицию отображений, а математики не пришли к общему соглашению насчёт обозначения композиции отображений.) Соответственно, из-за этого меняется порядок умножения, в итоге результаты разнятся. Поэтому необходимо заранее обозначать композицию так, как будете её использовать.

Пример. В данном примере показывается сама суть умножения подстановок.

Первая строка первой подстановки «взаимно-однозначно отображается на» вторую строку второй подстановки.

Пример.

Очевидно, что умножение перестановок ассоциативно, но не коммутативно.

Нейтральный элемент — это тождественная подстановка .

Обратный к это , так как .

Таким образом, множество подстановок -го порядка — множество, на котором введена замкнутая ассоциативная бинарная операция «умножение», на этом множестве есть нейтральный элемент, и все элементы этого множества обратимы, следовательно, множество подстановок образует мультипликативную группу. Эта группа называется симметрической группой степени и обозначается . Очевидно, что это конечная группа, и что порядок этой группы (число её элементов) равен .

Примеры.

1. Запишем все элементов (подстановок) симметрической группы :

;

2. Найти и :

Как видим , то есть умножение подстановок некоммутативно.

3. Найти обратную подстановку к и проверить: