Гомоморфизм. Изоморфизм. Теорема Кэли

Пусть задано отображение группы (с операцией ) в группу (с операцией ): . Оно называется гомоморфизмом, если оно одну групповую операцию переводит в другую групповую операцию, то есть если , , , , то .

Изоморфизм — взаимно однозначный (биективный) гомоморфизм. Две группы и изоморфны, если существуют гомоморфизм групп и гомоморфизм групп , такие что и , где . Запись: или .

Свойства изоморфизма ():

1. Единица переходит в единицу.

Имеем: .

Тогда: .

Аналогично устанавливаем, что .

Следовательно, — единица в , а так как в группе единица единственна, то .

2. Обратный элемент переходит в обратный элемент.

Имеем: .

Тогда: .

Аналогично доказывается, что .

Следовательно, является обратным для элемента .

Но в группе для элемента обратный элемент единственный.

Следовательно, .

3. Обратное отображение тоже является изоморфизмом.

Имеем: .

Так как , то .

Так как , то .

Следовательно, является изоморфизмом группы на группу .

4. Композиция изоморфизмов — изоморфизм.

Пусть , тогда .

Примеры:

1. Отображение мультипликативной группы положительных действительных чисел на аддитивную группу всех действительных чисел , при котором всякому ставится в соответствие десятичный логарифм этого числа , обладает свойством , то есть является изоморфизмом.

2. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе целых чисел .

3. Всякая циклическая группа порядка изоморфна мультипликативной группе корней -й степени из единицы.

Теорема. Все циклические группы одного порядка изоморфны.

Теорема (Кэли). Всякая конечная группа порядка изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы , то есть группе подстановок.

Теорема Кэли, несмотря на свою простоту, имеет важное значение в теории групп. Она выделяет некий универсальный объект (семейство симметрических групп) — вместилище всех вообще конечных групп. То есть, согласно ей, изучение конечных групп может быть сведено к изучению групп подстановок.