14. Евклидово кольцо. Свойства (8 свойств). Примеры Евклидово кольцо

Евклидово кольцо — кольцо без делителей 0, в котором каждому ненулевому элементу сопоставляется целое неотрицательное число , называемое нормой элемента , со следующими свойствами:

1. .

2. , причём либо , либо , либо оба (возможность деления с остатком).

Примеры.

1. Кольцо — евклидово кольцо с нормой . Действительно, не имеет делителей нуля, а введённая норма удовлетворяет условиям 1 и 2 определения:

1) , если — целое, 2) деление с остатком введено.

2. Кольцо целых гауссовых чисел — евклидово кольцо с нормой . Действительно:

1. , если , то

и

2. Можно ввести деление с остатком. Например:

То есть . Остаток: .

3. Кольцо многочленов от одной переменной с коэффициентами в поле — евклидово кольцо с нормой равной степени многочлена . Действительно:

1. Пусть , , тогда

2. Алгоритм деления многочлена на многочлен известен.

Пусть — любое кольцо без делителей 0. Говорят, что делит (то есть делится на без остатка), если такой, что . Запись: .

Ясно, что , то есть если элемент кратен , то он кратен и .

Простой необратимый элемент евклидового кольца — необратимый элемент евклидового кольца, который допускает лишь тривиальное разложение, то есть из равенства следует, что или , или обратимы. Например, в случае: — тривиальные делители числа : и .

Любое число , у которого существует нетривиальное разложение на множители, называется составным.

Пример. В кольце простые элементы: … Причём сомножитель этих чисел: — обратим. Составные: … ()