Свойства бинарных отношений на множестве

Рефлексивность. Если каждый элемент множества находится в отношении с самим собой: — то бинарное отношение называется рефлексивным. Если же ни один элемент множества не находится в отношении с самим собой: — то бинарное отношение называется антирефлексивным. Иначе нерефлексивным.

Пример. Отношение сравнимости рефлексивно при любом и на любом множестве целых чисел. Отношение строгого неравенства () антирефлексивно.

Симметричность. Если вместе с каждой парой в отношении входит симметричная пара : — то бинарное отношение называется симметричным. Если же ни одна пара не входит в отношение вместе с симметричной парой : — то бинарное отношение называется асимметричным (полная противоположность симметричному). Если ни одна пара, состоящая из разных элементов, не входит в отношение вместе с симметричной ей: — то бинарное отношение называется антисимметричным. Иначе несимметричным.

Бинарное отношение асимметрично тогда и только тогда, когда оно антисимметрично и при этом антирефлексивно.

Пример. Отношение сравнимости симметрично при любом натуральном модуле и на любом множестве целых чисел. Отношение строгого неравенства () асимметрично на множестве вещественных чисел. Отношение нестрогого неравенства () на множестве вещественных чисел антисимметрично.

Транзитивность. Если для любых трёх элементов , таких, что и входят в отношение , то в входит пара : .

Пример. Отношение сравнимости транзитивно при любом и на любом множестве целых чисел. Отношение строгого неравенства () транзитивно на любом подмножестве вещественных чисел. Отношение на множестве вещественных чисел не является транзитивным: !

Способы задания бинарных отношений: