По дискретной математике

Весь материал взят с книг и научных работ. Ничего не придумано☺

0. Введение. Граф 2

1. Сеть. Потоки в сети. Теорема Форда — Фалкерсона 12

2. Функция. Бинарное отношение. Тотальность, сюръективность, инъективность, биективность. Примеры 16

3. Бинарное отношение. Свойства. Матрица смежности и граф отношения. Отношение эквивалентности. Примеры 25

4. Алгебраическая структура. Полугруппа, моноид, группа. Примеры 30

5. Группа. Абелева группа. Аддитивная группа. Мультипликативная группа. Конечная группа. Таблица Кэли. Циклическая группа. Декартово произведение групп 37

6. Группа подстановок. Симметрическая группа . Умножение подстановок. Нейтральный элемент. Обратная подстановка. Число элементов группы 41

7. Цикл. Теорема о представлении подстановки в виде произведения независимых циклов. Транспозиция. Чётные и нечётные подстановки. Знакопеременная группа 43

8. Кольцо. Свойства. Коммутативное кольцо. Делители 0. Область целостности. Примеры. Подкольцо. Единица кольца. Поле. Примеры 46

9. Идеал. Главный идеал. Теорема об идеалах поля (только и ). Следствие об идеалах в кольце 50

10. Сравнения. Классы вычетов по модулю (по идеалу ). Свойства. Малая теорема Ферма. Функция Эйлера. Теорема Эйлера (теория чисел) 51

11. Характеристика кольца. Теорема о характеристике кольца без делителей 0. Примеры. Кольцо классов вычетов. Примеры 56

12. Простой идеал. Необходимое и достаточное условие того, что идеал кольца — простой 56

13. Поле классов вычетов. Минимальное поле. Примеры 57

14. Евклидово кольцо. Свойства (8 свойств). Примеры 57

15. Кольцо многочленов . Условия того, что кольцо — евклидово кольцо 60

16. Приводимые и неприводимые многочлены в кольце . Примеры. Теорема о разложении в на произведение неприводимых множителей. Теорема Безу 61

17. Расширение поля (надполе). Теорема о том, что кольцо классов вычетов по модулю неприводимого многочлена есть поле. Степень расширения. Число элементов этого поля 62

18. Поле Галуа. Примеры полей Галуа как расширения полей. Таблицы сложения и умножения 63

Литература 68