2.10 Теорема о среднем, оценки
Пусть в промежутке функцияограничена:
а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьесаотпо, то имеет место формула
(22)
Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.
Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовской суммы :
Переходя к пределу, получим
(23)
Или
Обозначая написанное отношение через , придем к (22).
Если функция в промежуткенепрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, чтоесть значение функции в некоторой точке этого промежутка, интеграл формула (22) приобретает вид
, где (24)
В практике интегралов Стилтьеса наиболее важным является случай, когда функция непрерывна, а функцияимеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:
(25)
Где
.
Действительно, для суммы Стилтьеса будет
так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.
Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы к самому интегралу Стилтьеса(при прежних предположениях относительно функцийи). Представивив виде
и почленно вычитая эти равенства, получим
Если, как обычно, обозначить через колебание функциив промежутке, так что
для
то, применяя оценку (25) к каждому интегралу в отдельности, будем иметь
Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все, где- произвольное наперед взятое число, то заключаем, что
(26)
Эти оценки будут нами использованы в следующем пункте.
- Содержание
- Глава I. Развитие понятия интеграла
- 1.1 Проблема моментов
- Глава II. Интеграл Стилтьеса
- 2.1 Определение интеграла Стилтьеса
- 2.2 Общие условия существования интеграла Стилтьеса
- 2.3 Классы случаев существования интеграла Стилтьеса
- 2.4 Свойства интеграла Стилтьеса
- 2.5 Интегрирование по частям
- 2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана
- 2.7 Вычисление интегралов Стилтьеса
- 2.8 Примеры
- 2.10 Теорема о среднем, оценки
- 2.11 Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса
- 2.12. Примеры и дополнения
- Глава III. Применение интеграла Стилтьеса
- 3.1 Применение в теории вероятностей
- 3.2 Применение в квантовой механике
- Заключение
- Список литературы
- Приложение