2.6 Приведение интеграла Стилтьеса к интегралу Римана

Пусть функция непрерывна в промежутке, амонотонно возрастает в этом промежутке, и притом в строгом смысле. Тогда, как показал Лебег, интеграл Стилтьесас помощью подстановкинепосредственно приводится к интегралу Римана.

На рисунке изображен график функции . Для тех значений, при которых функцияиспытывает скачок (ибо мы вовсе не предполагаемобязательно непрерывной), мы дополняем график прямолинейным вертикальным отрезком, соединяющим точкии. Так создается непрерывная линия, которая каждому значениюмеждуиотносит одно определенное значениемеждуи. Эта функция, очевидно, будет непрерывной и монотонно возрастающей в широком смысле; её можно рассматривать как своего рода обратную для функции.

Именно, если ограничиться лишь теми значениями , которые функциядействительно принимает при измененииотдо, тоявляется обратной для неё в обычном смысле, т.е. относитименно то значение, при котором. Но из промежутка значений

связанного со скачком функции , лишь одно значениеимеет себе соответствующее значение; другим значениямв упомянутом промежутке никакие значения, очевидно, не отвечают. Но мы условно относим и им то же значение; геометрически это и выразилось в дополнении графика функциирядом вертикальных отрезков.

Докажем теперь, что

(10)

где последний интеграл берется в обычном смысле, его существование обеспечено, так как функция , а с нею и сложная функция, непрерывна.

С этой целью разложим промежуток на части с помощью точек деления

и составим стилтьесову сумму

.

Если положить , то будем иметь

Так как , то

.

Это выражение имеет вид римановой суммы для интеграла

Отсюда, однако, нельзя ещё непосредственно заключить, переходя к оператору, о равенстве (10), ибо даже при может оказаться, чток нулю не стремится, если, например, между безгранично сближающимисяибудет заключено значение, где функцияиспытывает скачок. Поэтому мы будем рассуждать иначе.

Имеем

и

так что

Предположим теперь настолько малыми, чтобы колебания функцииво всех промежуткахбыли меньше произвольного наперед заданного числа. Так как

при , очевидно,

то одновременно и

В таком случае

.

Этим доказано, что

откуда и следует (10).

Несмотря на принципиальную важность полученного результата, он не дает практически удобного средства для вычисления интеграла Стилтьеса. Как осуществлять вычисление в некоторых простейших случаях, мы покажем в следующем пункте.