3.2 Применение в квантовой механике

Аппарат стилтьесовского интегрирования приспособлен для единообразного описания дискретных и непрерывных явлений. Это обстоятельство оказалось решающим и при введении его в математический арсенал квантовой механики.

Если в механике раньше пользовались в основном классическим математическим анализом - аппаратом, приспособленным для описания определенного класса непрерывных явлений, а в тех случаях, когда нужно было описать дискретные явления, прибегали к теории рядов, конечных или бесконечных, то в квантовой механике такие приемы оказались недостаточными. Непрерывные и дискретные аспекты переплелись в ней настолько тесно, что идея их единообразного описания напрашивалась сама собой.

Идея стилтьесовского интегрирования могла оказаться полезной с самого начала. Но в момент зарождения квантовой механики и некоторое время спустя интегрирование по Стилтьесу было еще недостаточно разработано, а главное - слишком мало известно, чтобы лечь в основу квантовой механики. И Дирак повернул направление ее развития в ином направлении.

Дирак в качестве исходной позиции тож ставит проблему единообразного описания дискретных и непрерывных явлений. При этом за основное понятие он берет понятие непрерывности, а дискретное описывает в терминах последнего. Против такого подхода сразу восстал И. Нейман, предложив заменить обобщенные функции интегралами Стилтьеса. Большинство физиков не приняло концепции Неймана, тем не менее он продолжал отстаивать и развивать свою точку зрения, подробно изложив свои соображения в своей монографии. И хотя его концепция была принята не сразу, тем не менее в квантовой механике интеграл Стилтьеса нашел своё применение.

Интеграл Стилтьеса и линейные функционалы.

Понятие функционала явилось предметом многочисленных исследований, восходящих ещё к Эйлеру. Среди этих исследований важное место заняли изыскания по аналитическому изображению функционалов.

В явной форме понятие функционала сформулировал Вольтера в 1887году. Он же дал и первое аналитическое выражение для некоторого класса функционалов в виде выражения, аналогичного ряду Тейлора с привлечением понятия производной функционала. В теории функций наиболее распространенным способом изображения функций является выражение их рядами того или иного типа. По аналогии начались попытки представления функционалов в виде рядов по функционалам

,

где - некоторые константы, зависящие от природы разлагаемого в ряд функционала, а- определенная последовательность фиксированных функционалов. Первым таким разложением было разложение, предложенное Пинкерле и Амальди в 1901 г. Оно имело вид:

,

где с - некоторое фиксированное число промежутка , на котором задано рассматриваемое множество функций.

Кроме них предложили общие выражения линейных функционалов Фреше и Адамар, но все эти способы пригодны только для относительно узких классов непрерывных функций. Поэтому поиски новых аналитических выражений для функционалов продолжались.

Решающим в этом направлении был результат Рисса. В 1909 г. Он доказал, что всякий линейный функционал , определенный в пространстве непрерывных функций, заданных на, раастояние между которымивыражается интегралом Стилтьеса

где - функция с ограниченным изменением, определяемая через