2.1 Определение интеграла Стилтьеса

Пусть в промежутке заданы две ограниченные функциии. Разложим точками

(1)

промежуток на части и положим. Выбрав в каждой из частейпо точке, вычислим значениефункциии умножим его на соответствующее промежуткуприращение функции

.

Наконец, составим сумму всех таких произведений:

. (2)

Эта сумма носит название интегральной суммы Стилтьеса.

Конечный предел суммы Стилтьеса при стремлениик нулю называется интегралом Стилтьеса функциипо функциии обозначается символом

. (3)

Иной раз, желая особенно отчетливо подчеркнуть, что интеграл рассматривается в смысле Стилтьеса, употребляют обозначение

Предел здесь понимается в том же смысле, что и в случае обыкновенного определенного интеграла. Точнее говоря, число называется интегралом Стилтьеса, если для любого числасуществует такое число, что лишь только промежутокраздроблен на части так, что, тотчас же выполняется неравенство

,

как бы не выбирать точки в соответствующих промежутках.

При существовании интеграла (3) говорят также, что функция в промежуткеинтегрируема по функции.

Читатель видит, что единственное (но существенное) отличие данного выше определения от обычного определения интеграла Римана состоит в том, что умножается не на приращениенезависимой переменной, а на приращениевторой функции. Таким образом, интеграл Римана есть частный случай интеграла Стилтьеса, а когда в качестве функциивзята сама независимая переменная:

.