2.12. Примеры и дополнения

Предполагая функцию монотонно возрастающей в строгом смысле, можно доказать относительно числа, фигурирующего в формуле (24), более точное утверждение:

Действительно, обозначив через инаименьшее и наибольшее значения функциив промежуткеи считая, легко найдем такую частьэтого промежутка, в которой границамислужат числаи, так что

Написав для промежутков инеравенства вида (23) интеграл складывая их с предыдущими, получим взамен (23) более точные неравенства:

так что число

Лежит строго между и; а тогда найдем истрого междуи, для которогои т.д.

Используя формулу (11) п., формулу интегрирования по частям и теорему о среднем для интегралов Стилтьеса, очень легко заново установить вторую теорему о среднем для обыкновенных интегралов.

Итак, пусть интегрируема (в смысле Римана), амонотонно возрастает в промежутке. Введем функцию

;

она, как мы знаем, будет непрерывна.

Теперь последовательно имеем

что и требовалось доказать.

Если монотонно возрастает в строгом смысле, то на основании сделанного в 1) замечания можно точнее сказать относительно:

Доказать, что, если в точке одна из функцийинепрерывна, в то время как другая в окрестности этой точки ограничена, то существование интеграловивлечет за собой существование и.

С этой целью заметим, что, если при составлении стилтьесовой суммы мы будем включать точкув состав точек деления, то суммабудет слагаться из двух аналогичных сумм для частичных промежуткови; приона будет стремиться к сумме интегралов. Пусть теперь точкане входит в число точек деления. Присоединяя к ним точку, мы отперейдем к новой сумме, про которую мы уже знаем, что приона имеет указанный предел. Таким образом, достаточно показать, что разностьбудет вместе сстремиться к 0.

Пусть точка попадает в промежуток; тогда суммаотличается от суммылишь тем, что вместо слагаемого

в ней имеется два слагаемых:

где ивыбираются произвольно под условиямии. Положив для упрощения, сведем последнее выражение к

так что

(29)

Когда , то один из множителей правой части бесконечно мал, в то время как второй ограничен; следовательно,что и требовалось доказать.

Если обе функции иоказываются разрывными в одной интеграл той же точке, то интеграл Стилтьеса

(30)

заведомо не существует.

Для доказательства будем различать два случая. Пусть сначала , и пределыине равны. Тогда при построении суммы Стилтьеса мы точкуне станем вводить в число точек деления; пусть, скажем,Выбрав один раз, а другой раз взявв качествесоставим две суммыи, разность которых сведется к выражению (29). Сближая точки деления, будем иметь

Кроме того, точку можно выбрать так, чтобы разностьбыла по абсолютной величине большей некоторого постоянного положительного числа. Тогда разностьне стремится к 0, так что интеграл существовать не может.

Если же , но их общее значение отлично от("устранимый разрыв"), то, наоборот, включимв число точек деления; пусть. Еслиимеет, например, разрыв в точкесправа, то, как и только что, составим две суммыи, разнящиеся лишь выбором: дляточкавзята произвольно междуи, а дляв качествевзята. По-прежнему имеем (29), интеграл рассуждение завершается аналогично.

Упражнения 3) и 4) проливают свет на тот факт, о котором говорилось в конце п.4.

Пусть непрерывна, аимеет ограниченное изменение в промежутке.

Опираясь на оценку (25), доказать непрерывность интеграла Стилтьеса

по переменному верхнему пределу в точке, где функциянепрерывна.

Заключение сразу вытекает из неравенства

если принять во внимание, что в точке должна быть непрерывна и вариация.

Если есть класс непрерывных в промежуткефункций, а- класс функций с ограниченным изменением в этом промежутке, то, как известно, каждая функция одного класса, интегрируема по каждой функции другого класса. Доказать, что ни один, ни другой из этих классов не может быть расширен с сохранением упомянутого свойства.

Это, ввиду 4), почти очевидно относительно класса . Действительно, если функцияимеет точку разрыва, то она заведомо не интегрируема, например, по функции с ограниченным изменением, имеющей ту же точку разрыва.

Пусть теперь в промежуткеимеет бесконечное полное изменение; в этом предположении построим такую непрерывную функцию, для которой интеграл (30) не существует.

Если разделить промежуток пополам, то хоть в одной из половин полное изменение функциитоже будет бесконечно; разделим эту половину снова пополам интеграл т.д. По этому методу определится некоторая точка, в каждой окрестности которойне имеет ограниченного изменения. Для простоты пусть.

В таком случае легко построить последовательность возрастающих интеграл стремящихся к значений:

так, чтобы ряд

расходился. Для этого ряда затем можно подобрать такую последовательность стремящихся к 0 чисел , чтобы и ряд

(31)

все же расходился. Теперь определим функцию , полагая

а в промежутках считаялинейной:

Очевидно, будет непрерывна. В то же время, ввиду расходимости ряда (31), прии

так что интеграл от подействительно не существует.

Доказанное утверждение можно сформулировать и так: если интеграл Стилтьеса (30) для данной функции существует по любойиз, тонеобходимо принадлежит; аналогично, если этот интеграл по данной функциисуществует для любойиз, тонеобходимо принадлежит.

В первой теореме о предельном переходе под знаком интеграла Стилтьеса мы поставили требование, чтобы последовательность функций стремилась к предельной функцииравномерно. Можно, однако, заменить это требование более общим условием, что эти функции ограничены в их совокупности:

(Только при этом нужно ещё наперед предположить непрерывность предельной функции ).

При доказательстве достаточно рассмотреть случай, когда возрастает в строгом смысле. Но для этого случая можно воспользоваться преобразованием, проведенным в п.:

и, имея дело уже с римановыми интегралами, просто применить теорему Арцелла.

Укажем, в заключение, другую трактовку понятия интеграла Стилтьеса, связав его с понятием аддитивной функции от промежутка.

Пусть для каждой части данного промежуткаопределено число, причем, если промежутокточкойразложен на частии, то и

Тогда есть аддитивная функция от переменного промежутка. Предположим, что кроме неё для промежутказадана и функция точки. Разложим теперь, как обычно, промежутокточками

на части , в каждой части произвольно выберем по точкеи, наконец, составим сумму

(32)

Предел этой суммы при и есть интеграл Стилтьеса, который естественно - учитывая процесс его построения - обозначить так:

(33)

Если определить вторую функцию точки , положив

для

то, ввиду аддитивности функции , во всех случаях

(34)

так что сумма (32) сведется к обыкновенной стилтьесовой сумме

а предел (33) - к обыкновенному интегралу Стилтьеса

.

Обратно, если существует последний интеграл, то, определив функцию от промежутка равенством (34) (причем легко проверить, что она окажется аддитивной), можно свести обыкновенный интеграл Стилтьеса к интегралу (33).