2.10 Теорема о среднем, оценки

Пусть в промежутке функцияограничена:

а монотонно возрастает. Если существует интеграл Стилтьесаотпо, то имеет место формула

(22)

Это и есть теорема о среднем для интегралов Стилтьеса.

Для доказательства будем исходить из очевидных неравенств для стилтьесовской суммы :

Переходя к пределу, получим

(23)

Или

Обозначая написанное отношение через , придем к (22).

Если функция в промежуткенепрерывна, то обычным путем убеждаемся в том, чтоесть значение функции в некоторой точке этого промежутка, интеграл формула (22) приобретает вид

, где (24)

В практике интегралов Стилтьеса наиболее важным является случай, когда функция непрерывна, а функцияимеет ограниченное изменение. Для этого случая справедлива такая оценка интеграла Стилтьеса:

(25)

Где

.

Действительно, для суммы Стилтьеса будет

так что остается лишь перейти к пределу, чтобы получить требуемое неравенство.

Отсюда вытекает, в частности, и оценка близости суммы к самому интегралу Стилтьеса(при прежних предположениях относительно функцийи). Представивив виде

и почленно вычитая эти равенства, получим

Если, как обычно, обозначить через колебание функциив промежутке, так что

для

то, применяя оценку (25) к каждому интегралу в отдельности, будем иметь

Если промежуток раздроблен на столь мелкие части, что все, где- произвольное наперед взятое число, то заключаем, что

(26)

Эти оценки будут нами использованы в следующем пункте.