2.8 Примеры

Вычислить по формуле (11) интегралы:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) где

б) где

Решение:

а) Функция имеет скачок 1 прии скачок - 2 при; в остальных точках. Поэтому

б) Скачок 1 при и - 2 при(значение функцииприне влияет на результат); в прочих точках.

Имеем:

Вычислить по формуле (15) интегралы:

а) б)в)

где

Решение:

Функция имеет скачки, равные 1, прии. Производная

Поэтому

а)

Аналогично,

б)

в)

Предположим, что вдоль отрезка осирасположены массы, как сосредоточенные в отдельных точках, так интеграл распределенные непрерывно. Не делая различия между ними, обозначим длячерезсумму всех масс, расположенных в промежутке; сверх того, положим,. Очевидно,- монотонно возрастающая функция. Поставим себе задачей найти статический момент этих масс относительно начала координат.

Разобьем промежуток на части точками

На отрезке присодержится, очевидно, масса. Точно так же на отрезкесодержится масса. Считая массу во всех случаях сосредоточенной, например, на правом конце промежутка, получим для искомого статического момента приближенной выражение

.

При стремлении к 0 всех , в пределе придем к точному результату:

. (16)

Можно было бы здесь сначала установить "элементарный" статический момент , отвечающий отрезку оси отдо, а затем "просуммировать" эти элементы.

Аналогично для момента инерции тех же масс относительно начал найдем формулу

(17)

Важно подчеркнуть, что интеграл Стилтьеса дал возможность объединить одной интегральной формулой разнородные случаи непрерывно распределенных интеграл сосредоточенных масс!

Пусть непрерывно распределенные массы имеют линейную плотность ; кроме них пусть в точкахрасположены сосредоточенные массы. Тогда, исключая эти точки, функция имеет производную

В каждой же точке функция испытывает скачок, равный именно массе, в этой точке сосредоточенной.

Если теперь разложить интеграл (16) по формуле (15), то получим

Всмотревшись в правую часть, легко в первом члене узнать статический момент непрерывно распределенных масс, а во втором - статический момент сосредоточенных масс. Аналогичный результат получится интеграл для интеграла (17).

а) Составить выражение и построить график его для следующего распределения масс: массы величины 1 в точкахи непрерывно распределенные массы с плотностью 2 в промежутке.

Решение:

В промежутке имеем:

б) То же самое - для такого распределения: массы величины 2 при и 4 и непрерывно распределенные массы с плотностьюв промежутке.

Решение:

В промежутке имеем

в) выяснить распределение масс, если равна функциизадачи 3).

Решение:

Массы величины 1 в точках и 0, в промежуткенепрерывно распределенные массы с плотностью 1, в промежутке- массы с плотностью.

6. Рассмотрим другой вопрос, в котором интеграл Стилтьеса играет такую же роль, как интеграл в упражнении 4). Предположим, что на балку (рис) покоящуюся на двух опорах, кроме непрерывно распределенной нагрузки действуют и сосредоточенные силы. Расположим ось вдоль по оси балки, а осьвертикально вниз (см. рис) Не делая различий между действующими силами, обозначим длячерезсумму всех сил, приложенных на отрезкебалки, включая интеграл реакции опор; далее, пусть. Силуназывают перерезывающим усилием в сечениибалки. При этом силы, направленные вниз, будем считать положительными, а вверх - отрицательными.

Поставим задачей определить так называемый изгибающий момент в произвольном сечениибалки. Под этим разумеют сумму моментов всех сил, действующих на правую (или на левую) часть балки, относительно этого сечения. При этом, когда речь идет о правой части балки, момент считают положительным, если он вращает эту часть по часовой стрелке (для левой части - обратное правило).

Так как на элементе , скажем, правой части балки приложена сила, создающая элементарный момент

то, "суммируя" получим

Аналогично, исходя из левой части балки, можно было бы получить (учитывая изменение положительного направления для отсчета моментов)

(18)

Легко непосредственно усмотреть, что оба выражения изгибающего момента в действительности тождественны. Их равенство равносильно условию

которое является следствием из условий равновесия

выражающих равенство нулю суммы всех сил интеграл суммы моментов (относительно начала) всех сил, действующих на балку.

Если интенсивность непрерывно распределенной нагрузки обозначить через , то, исключая точки, где приложены сосредоточенные силы, будет

Пусть сосредоточенные силы приложены в точках. Тогда, очевидно, перерезывающее усилие именно в этих точках имеет скачки, соответственные равные. Далее, применяя, например, к интегралу (18) формулу (15), получим

.

В двух слагаемых правой части легко узнать моменты, порожденные порознь непрерывной нагрузкой интеграл сосредоточенными силами: интеграл Стилтьеса охватывает их единой интегральной формулой.

Установим ещё один факт, интересный для теории сопротивления материалов. Произведя в формуле (18) интегрирование по частям, получим

Отсюда ясно, что всюду, за исключением точек приложения сосредоточенных сил, имеет место равенство

Пусть балка длины несет "треугольную" нагрузку с интенсивностью; кроме того, пусть к ней приложены сосредоточенная сила, равная 3, в точке, интеграл реакции опор, обе равные - 3 (они устанавливаются по закону рычага). Определить перерезывающее усилиеинтеграл изгибающий момент.

Решение:

Формула (15) может оказаться полезной интеграл для вычисления обычных интегралов (в смысле Римана). Проиллюстрируем это на следующем примере.

Пусть - "кусочно-полиномиальная" функция в промежутке; это означает, что промежуток разлагается на конечное число частей точками

так, что в каждой из частей функция представляется полиномом не выше-й степени. Заменив значения функциии всех её производных в точкахинулями, обозначим черезвеличину скачка-й производнойв-й точке.

Пусть, далее, - любая непрерывная функция; положим

и, вообще,

Тогда имеет место следующая формула:

Действительно, последовательно находим

двойная подстановка исчезает, а интеграл

Аналогично

и т.д.

Установим в заключение, с помощью формулы (11) одно полезное обобщение формулы интегрирования по частям для обыкновенных интегралов. Именно, если иобе абсолютно интегрируемы в промежутке, аиопределяются интегральными формулами:

то справедлива формула

(19)

Для доказательства, по формуле (11) заменим интеграл слева интегралом Стилтьеса интеграл проинтегрируем по частям (п.5):

Остается ещё раз применить формулу (11) к последнему интегралу, чтобы прийти к (19).

Здесь функции ииграют как бы роль производных от функций,не будучи ими на деле. При непрерывности функцийимы возвращаемся к обычной формуле интегрирования по частям, ибо тогда, наверное

Геометрическая иллюстрация интеграла Стилтьеса

Рассмотрим интеграл

(20)

предполагая функцию непрерывной интеграл положительной, а- лишь монотонно возрастающей (в строгом смысле); функцияможет иметь и разрывы (скачки).

Система параметрических уравнений

(21)

выражает некоторую кривую , вообще говоря, разрывную (рис). Если при некоторомфункцияиспытывает скачок, так что, то этим предельным значениямотвечает одно интеграл то же предельное значение, равное. Дополним кривуювсеми горизонтальными отрезками, соединяющими пары точек

и

отвечающие всем скачкам функции (см. рис). Таким образом, составится уже непрерывная кривая. Покажем, что интеграл (20) представляет площадь фигуры под этой кривой, точнее, площадь фигуры, ограниченной кривой, осью и двумя крайними ординатами, отвечающими абсциссами.

С этой целью разложим промежуток на части точками

и в соответствии с этим промежуток на оси- на части точками

Введя наименьшее и наибольшее значения ифункциив-м промежутке, составим нижнюю интеграл верхнюю суммы Стилтьеса-Дарбу

Легко видеть теперь, что они представляют площади фигур, составленных из входящих интеграл из выходящих прямоугольников, между которыми содержится рассматриваемая криволинейная фигура.

Так как при стремлении к 0 всех обе суммы стремятся к общему пределу (20), то отсюда следует, что наша фигура квадрируема и площадью её служит действительно интеграл (20).