2.5 Интегрирование по частям

Для интегралов Стилтьеса имеет место формула

(9)

в предположении, что существует один из этих интегралов; существование другого отсюда уже вытекает. Формула эта носит название формулы интегрирования по частям. Докажем её.

Пусть существует интеграл . Разложив промежутокна части, выберем в этих частях произвольно по точке, так что

Сумму Стилтьеса для интеграла

можно представить в виде

Если прибавить и опять отнять справа выражение

то перепишется так:

Выражение в фигурных скобках представляет собою стилтьесову сумму для интеграла (существование которого предположено!). Она отвечает разбиению промежуткаточками деления

если в качестве выбранных из промежутков точек взять, а для промежуткови, соответственно,и. Если, как обычно, положить, то теперь длины всех частичных промежутков не превзойдут. Присумма в квадратных скобках стремится к, следовательно, существует предел и для, т.е. интеграл, и этот интеграл определяется формулой (9).

Как следствие нашего рассуждения, особо отметим тот любопытный факт, что если функция в промежуткеинтегрируема по функции, то и функцияинтегрируема по функции.

Это замечание позволяет добавить ряд новых случаев существования интеграла Стилтьеса к тем, которые были рассмотрены в п.3, переменив роли функций и.