§. ПризнакИ сравнения сходимости интегралов от знакопостоянных функций. Мажорантный признак.
а). Мажорантный признак.
Пусть . Тогда:
*. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл;
*. Если расходится интеграл , то расходится и интеграл.
Пусть . Тогда(из свойств определенного интеграла). Перейдем к точной верхней границе дляв правой и левой части неравенства
. ▲
б). Асимптотическая форма мажорантного признака. Если из двух неотрицательных функций собственно интегрируемым по всем замкнутым промежуткам и одна ограничивает другую в окрестности особой точки:при, то
*. Если сходится, то исходится
*. Если расходится , то ирасходится.
Пусть в окрестности точки выполнено. Тогдаиограничена при. Значит. Значит
сходится также сходится. ▲
в). Предельная форма мажорантного признака.
Если отношение двух неотрицательных функций, собственно интегрируемых на любом замкнутом промежутке , имеет конечный предел в особой точке, то два интеграла сходятся или расходятся одновременно.
Т.е. если , то из сходимости сходимость , и из расходимости расходимость . Если же, то
сходимость сходимости .
г). Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости несобственных интегралов.
и с – одного порядка при. Тогда интегралыисходятся или расходятся одновременно.
с – одного порядка при . ▲
д). Предельная форма признака одновременной сходимости – расходимости интегралов.
Если и, тогдаисходятся или расходятся одновременно.
Примеры.
1. .При . Интеграл от мажорирующей функции сходится, следовательно исходный интеграл также сходится.
2. , а такой интеграл на расходится.
3. .Вывод исходный интеграл сходится при и расходится при .
4. .Вывод исходный интеграл сходится при и расходится при .
5. .Особая точка . Прии, следовательно, исходный интеграл сходится (см.3).
- Раздел 2. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах.
- §. Вычисление площадей плоских фигур.
- §. Вычисление длин дуг плоских кривых.
- 1). .
- §. Криволинейные интегралы I-го рода.
- Вычисление объёмов.
- §. Вычисление моментов и координат центра масс.
- §. Теоремы Гульдина.
- Раздел 3. Несобственные интегралы. §. ОпределениЯ
- §. Основные свойства несобственного интеграла.
- §. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
- §. Абсолютная сходимость.
- §. ПризнакИ сравнения сходимости интегралов от знакопостоянных функций. Мажорантный признак.
- §. Условная сходимость.
- §. ПризнакИ Абеля и Дирихле (для функций вида ).
- §. Поведение функции, стоящей под знаком сходящегося интеграла, на бесконечности.
- §. Интегралы Фрулани.
- §. Главное значение интеграла по Коши.
- Раздел 4. Численное интегрирование §. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)
- §. Остаточный член формулы прямоугольников.
- §. Остаточные члены формул трапеций и парабол.
- §. Пример применения.
- Раздел 5. Ряды. §. Определения.
- §. Критерий Коши сходимости ряда.
- §. Абсолютная сходимость.
- §. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
- §. Интегральный признак Коши – Маклорена.
- §. Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.
- §. Признак дАламбера и его предельная форма.
- §. Примеры
- §. Признак РаАбе.
- §. Признак Куммера.
- §. Признаки сходимости знакопеременных рядов. А). Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
- Б). Признаки Абеля и Дирихле.
- §. Несколько замечаний о перестановочности членов сходящихся – расходящихся рядов.
- §. Функциональные ряды.