Раздел 3. Несобственные интегралы. §. ОпределениЯ

В предыдущих разделах введено понятие определенного интеграла от ограниченной функции по ограниченному промежутку. В настоящем разделе обобщается понятие определенного интеграла на случаи, когда

*. если функция неограниченна на промежутке

*. если промежуток интегрирования – неограничен;

А. 1). Пусть функция определена в промежуткеи интегрируема в любой конечной его части, так что интегралимеет смысл при любом.

.

Def Конечный или бесконечный предел называется несобственным интегралом от функции на промежутке, и обозначается.

Аналогично определяется и несобственный интеграл .

2). Def Пусть задан конечный промежуток и функциянеограниченна в окрестности точкипромежутка интегрирования ( в частности, еслипри). Конечный или бесконечный предел называется несобственным интегралом от неограниченной функции по промежутку и обозначается.

Аналогично определяется и несобственный интеграл .

Если рассмотренные пределы существуют, то говорят, что интегрируема в несобственном смысле, соответствующий интеграл называется несобственным и говорят, что он сходится к соответствующему пределу. Если предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Б. Понятие несобственного интеграла может быть расширено и на случай, когда функция неограниченна в окрестности точекпромежутка интегрирования и, кроме того, промежуток интегрирования неограничен. Как определить такой несобственный интеграл, для простоты, покажем на конкретном примере:

.

Все интегралы в правой части являются несобственными в смысле данных выше определений. Если все эти интегралы сходятся (и только в этом случае), то несобственный интеграл в левой части называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.

В. Если функция интегрируема в собственном смысле по замкнутому промежутку, то определенный интеграл по замкнутому промежутку и несобственный интеграл по полуоткрытому промежутку совпадает.

и , причем в последнем равенстве в левой части стоит несобственный интеграл, а в правой части – интеграл Римана. В дальнейшем такое замечание, для сходящихся несобственных интегралов, становится излишним именно в связи с данным утверждением.