§. Вычисление площадей плоских фигур.
П лощадь криволинейной фигуры может быть найдена из уже известного геометрического смысла определенного интеграла..
Для дальнейших приложений это будет удобно записать в виде криволинейного интеграла.
(Все связанное с криволинейным интегралом, пока следует рассматривать только как удобную форму записи).
=
. Для областей с конфигурацией как на втором рисунке более удобной является формула . При обходе областей сложной конфигурации можно разбивать ее на более простые области (пример указан на третьем рисунке) и для вычисления площадей плоских фигур пользоваться либо формулой, либо формулой, либо комбинированной формулой.
Если функция, определяющая границу области, задана параметрически , то последняя формула принимает вид.
Формула для нахождения площади фигуры, граница которой задана в полярных координатах , имеет вид и получена суммированием площадей элементарных криволинейных треугольников (рис. б, см. следующий параграф) .
- Раздел 2. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах.
- §. Вычисление площадей плоских фигур.
- §. Вычисление длин дуг плоских кривых.
- 1). .
- §. Криволинейные интегралы I-го рода.
- Вычисление объёмов.
- §. Вычисление моментов и координат центра масс.
- §. Теоремы Гульдина.
- Раздел 3. Несобственные интегралы. §. ОпределениЯ
- §. Основные свойства несобственного интеграла.
- §. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
- §. Абсолютная сходимость.
- §. ПризнакИ сравнения сходимости интегралов от знакопостоянных функций. Мажорантный признак.
- §. Условная сходимость.
- §. ПризнакИ Абеля и Дирихле (для функций вида ).
- §. Поведение функции, стоящей под знаком сходящегося интеграла, на бесконечности.
- §. Интегралы Фрулани.
- §. Главное значение интеграла по Коши.
- Раздел 4. Численное интегрирование §. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)
- §. Остаточный член формулы прямоугольников.
- §. Остаточные члены формул трапеций и парабол.
- §. Пример применения.
- Раздел 5. Ряды. §. Определения.
- §. Критерий Коши сходимости ряда.
- §. Абсолютная сходимость.
- §. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
- §. Интегральный признак Коши – Маклорена.
- §. Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.
- §. Признак дАламбера и его предельная форма.
- §. Примеры
- §. Признак РаАбе.
- §. Признак Куммера.
- §. Признаки сходимости знакопеременных рядов. А). Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
- Б). Признаки Абеля и Дирихле.
- §. Несколько замечаний о перестановочности членов сходящихся – расходящихся рядов.
- §. Функциональные ряды.