§. Признаки сходимости знакопеременных рядов. А). Признак Лейбница для знакопеременных рядов.

Рассмотрим ряд: , . Если для указанного знакочередующегося ряда и монотонно, то ряд сходится, вообще говоря, условно.

Δ Для ряда рассмотрим четные частные суммы ряда: . Если сгруппировать отдельные слагаемые по два начиная с первого, то получим , а при группировке отдельных слагаемых по два начиная со второго, получим . Таким образом последовательность четных частных сумм возрастающая и ограничена сверху. Тогда .

Рассмотрим нечетные частные суммы того же ряда и, переходя к пределу при , получим, чтои, следовательно, т. е. ряд сходится. ▲

Пример: сходится по Лейбницу, а – расходится, ибо это гармонический ряд. Следовательно, исходный ряд сходится условно .