§. ПризнакИ Абеля и Дирихле (для функций вида ).

Т. Интеграл от произведения двух функций сходится, в общем случае, условно, если:

*. Абель: ,монотонна и ограничена на;

*. Дирихле: Для функции т.е. интегралы отпо всем промежуткам, вложенным вограничены в совокупности (т.е.имеет ограниченную первообразную) имонотонно стремится к 0 при.

 Т.к. функция монотонна то

= .

Абель: Т.к. то .

И, следовательно, для выполнен критерий Коши. Интеграл сходится.

Дирихле: ипри. Следовательно

. Интеграл сходится. ▲

Пример:

Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл: .

Особые точки: и.

1) Функция знакопостоянна иа интеграл от этой функции сходится прии расходится при.

2) Функциямонотонно убывает и стремится к нулю, а функцияимеет интегралы, ограниченные нав совокупности.

Т.е. при интеграл сходится по Дирихле, вообще говоря, условно.

3) интеграл расходится.

4) А абсолютная сходимость?

. При интеграл сходится абсолютно.