§. Абсолютная сходимость.
Def: Несобственный интеграл называется сходящимся абсолютно, если сходится интеграл от модуля подынтегральной функции.
Т0. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.
Пусть интеграл сходится (по критерию Коши)
, но и,
следовательно, . ▲
Т0. Для интегралов от неотрицательных функций сходимость эквивалентна ограниченности в совокупности интегралов по всем замкнутым промежуткам и, при этом, если
.
Пусть . Кроме того, функцияне убывает
. Поэтому . ▲
Т0. Замена переменной со строго монотонной функцией. Если строго монотонная функция, то заменасохраняет абсолютную сходимость интеграла.
. Если функция не убывающая, тои, следовательно,
.
Крайние члены этой цепочки одновременно сходятся или расходятся. ▲
Замечание:Интегрирование по частям в общем случае не сохраняет абсолютную сходимость.
Пример: Рассмотрим . При этом, интеграл справа сходится абсолютно, а интеграл слева не сходится абсолютно. Мы это установим несколько позже.
- Раздел 2. Применение определенного интеграла в геометрических и физических задачах.
- §. Вычисление площадей плоских фигур.
- §. Вычисление длин дуг плоских кривых.
- 1). .
- §. Криволинейные интегралы I-го рода.
- Вычисление объёмов.
- §. Вычисление моментов и координат центра масс.
- §. Теоремы Гульдина.
- Раздел 3. Несобственные интегралы. §. ОпределениЯ
- §. Основные свойства несобственного интеграла.
- §. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла.
- §. Абсолютная сходимость.
- §. ПризнакИ сравнения сходимости интегралов от знакопостоянных функций. Мажорантный признак.
- §. Условная сходимость.
- §. ПризнакИ Абеля и Дирихле (для функций вида ).
- §. Поведение функции, стоящей под знаком сходящегося интеграла, на бесконечности.
- §. Интегралы Фрулани.
- §. Главное значение интеграла по Коши.
- Раздел 4. Численное интегрирование §. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)
- §. Остаточный член формулы прямоугольников.
- §. Остаточные члены формул трапеций и парабол.
- §. Пример применения.
- Раздел 5. Ряды. §. Определения.
- §. Критерий Коши сходимости ряда.
- §. Абсолютная сходимость.
- §. Признаки сходимости знакопостоянных рядов.
- §. Интегральный признак Коши – Маклорена.
- §. Признак Коши сходимости знакопостоянных рядов.
- §. Признак дАламбера и его предельная форма.
- §. Примеры
- §. Признак РаАбе.
- §. Признак Куммера.
- §. Признаки сходимости знакопеременных рядов. А). Признак Лейбница для знакопеременных рядов.
- Б). Признаки Абеля и Дирихле.
- §. Несколько замечаний о перестановочности членов сходящихся – расходящихся рядов.
- §. Функциональные ряды.