§. ПризнакИ сравнения сходимости интегралов от знакопостоянных функций. Мажорантный признак.

а). Мажорантный признак.

Пусть . Тогда:

*. Если сходится интеграл , то сходится и интеграл;

*. Если расходится интеграл , то расходится и интеграл.

 Пусть . Тогда(из свойств определенного интеграла). Перейдем к точной верхней границе дляв правой и левой части неравенства

. ▲

б). Асимптотическая форма мажорантного признака. Если из двух неотрицательных функций собственно интегрируемым по всем замкнутым промежуткам и одна ограничивает другую в окрестности особой точки:при, то

*. Если сходится, то исходится

*. Если расходится , то ирасходится.

 Пусть в окрестности точки выполнено. Тогдаиограничена при. Значит. Значит

сходится  также сходится. ▲

в). Предельная форма мажорантного признака.

Если отношение двух неотрицательных функций, собственно интегрируемых на любом замкнутом промежутке , имеет конечный предел в особой точке, то два интеграла сходятся или расходятся одновременно.

Т.е. если , то из сходимости сходимость , и из расходимости расходимость . Если же, то

сходимость  сходимости .

г). Асимптотический признак одновременной сходимости – расходимости несобственных интегралов.

и с – одного порядка при. Тогда интегралыисходятся или расходятся одновременно.

 с – одного порядка при . ▲

д). Предельная форма признака одновременной сходимости – расходимости интегралов.

Если и, тогдаисходятся или расходятся одновременно.

Примеры.

1. .При . Интеграл от мажорирующей функции сходится, следовательно исходный интеграл также сходится.

2. , а такой интеграл на расходится.

3. .Вывод исходный интеграл сходится при и расходится при .

4. .Вывод исходный интеграл сходится при и расходится при .

5. .Особая точка . Прии, следовательно, исходный интеграл сходится (см.3).