3. Дискретность порядка на множестве натуральных и целых чисел

1. Доказать, что не существует строго возрастающей последовательности (a_n) целых неотрицательных чисел, для которой при любых m и n выполняется соотношение a_mn = a_m+a_n.

2. Решить в Z систему x+y 25, y 2x+18, y x²+4x.

3. Доказать, что при любом натуральном n число n⁴+2n³+2n²+2n+1 не является полным квадратом.

4. При каких значениях nN выражение n³+7n²+6n+1 является кубом натурального числа?

5. Сколько пар целых чисел (x; y) удовлетворяет системе неравенств

2x 3y, 3x 4y, 5x–7y 20?

2. Найти целую часть выражения .

3. Могут ли числа a²+b и b²+a, где a, b  N, одновременно быть полными квадратами?

4. Найти все пары натуральных чисел a и b, для которых числа a²+3b и 3a+b² одновременно являются квадратами натуральных чисел.

5. Какое число стоит в последовательности 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, ... на 500000-м месте?

6. К десятичной записи числа 2^k приписали десятичную запись числа 5^k. Сколько десятичных знаков содержит получившееся число?

7. Какое наименьшее неотрицательное число можно получить из чисел

1, 2, ... , 1997 путем расстановки перед ними знаков “+” и “–” и последующего выполнения указанных действий?

2. Какое наименьшее неотрицательное число можно получить из чисел

1², 2², ... , 1997² путем расстановки перед ними знаков “+” и “–” и последующего выполнения действий?

Оценка с помощью неравенств + перебор

13. Решить в Z уравнение x²+y² = x+y+2.

14. Решить в Z уравнение x⁶+3x³+1 = y⁴.

15. Решить в Z уравнение (x+2)⁴–x⁴ = y³.

16. Решить в Z уравнение x²+xy+y² = x²y².

17. Решить в Z уравнение x²+x = y⁴+y³+y²+y.

23