13.7. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Уравнение вида

у  + р у + q y = 0, (13.17)

где р, q  вещественные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Пусть дано линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (13.17).

Уравнение вида

k² + p k + q = 0 (13.18)

называется характеристическим уравнением уравнения (13.17).

Т е о р е м а 13.6. (о частных решениях уравнения (13.17)).

Если число k  действительный корень уравнения (13.18), то у = e^kx является частным решением уравнения (13.17).

Если k_{1, 2} =  ±  i  комплексно сопряженные корни уравнения (13.16), то функции являются частным решением уравнения (13.15).

Т е о р е м а 13.7. (об общем решении уравнения (13.17)).

Если корни характеристического уравнения (13.18) вещественные и различные (k₁  k₂), то общее решение уравнения (13.17) имеет вид

Если корни уравнения (13.18) вещественные и равные (k₁ = k₂), то общее решение уравнения (13.17) имеет вид

Если корни характеристического уравнения (13.18) комплексные , то общее решение (13.17) имеет вид