Дифференциальные уравнения однородные относительно переменных

Определение. Функция f (x, y) называется однородной функцией п – го измерения относительно переменных х и у, если при любом k справедливо тождество: f (kx, ky) = k ⁿ f (x, y).

Определение. Функция f (x, y) называется однородной функцией нулевого измерения, если при умножении аргументов х и у на произвольный параметр k значение функции не измениться: f (kx, ky)= f(x,y).

Определение. Уравнением однородным, относительно переменных называется уравнение вида:

(13.7)

При решении однородного уравнения вводится замена

, т. е. y = u∙x,

тогда у = u x + u, подставляя это выражение для у в однородное уравнение, получим:

u x + u = f (u)

или u x = f (u) – u  это уравнение с разделяющимися переменными:

Интегрируя найдем:

Подставляя после интегрирования вместо U отношение , получим интеграл однородного уравнения.

Замечание. Уравнение

М (х, у) d y + N (x,y) d x = 0 (13.8)

будет однородным в случае, если М (х, у), N (x, y) - однородные функции одного и того же измерения.