13.4. Дифференциальные уравнения второго порядка

Определение. Уравнение вида F (x, y, y, y) = 0 называется дифференциальным уравнением второго порядка или, если это возможно в виде разрешенном относительно старшей производной:

у  = f (x, y, y) (13.11).

Задача Коши для уравнения второго порядка имеет вид

(13.12)

Т е о р е м а К о ш и. (существования и единственности задачи Коши). Если функция f (x, y, y) и ее частные производные f_y(x, y, y) и f_y(x, y, y) определены и непрерывны и, следовательно, ограничены в некоторой области пространства переменных (x, y, y), тогда в любой окрестности точки (х₀, у₀, у₀) этой области существует единственное решение уравнения у  = f (x, y, y), удовлетворяющее условиям

y = y₀, y  = y₀ при x = x₀.

Геометрически это означает, что через заданную точку (х₀, у₀) плоскости проходит единственная интегральная кривая с заданным угловым коэффициентом у₀ касательной в точке (х₀, у₀).

Определение. Функция у = φ (х, С₁, С₂) зависящая от х и двух произвольных постоянных С₁ и С₂ и при подстановке в уравнение у = f (x, y. y) обращающая его в тождество называется общим решением этого уравнения.

Геометрически общее решение уравнения второго порядка представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров С₁ и С₂.

Определение. Любая функция, получающаяся из общего решения уравнения (13.11) при определенных значениях постоянных С₁ и С₂, т. е. у = φ(х, С₁⁰, С₂⁰) называется его частным решением.

Геометрическое истолкование задачи Коши.

Для того, чтобы из совокупности интегральных кривых выбрать одну, недостаточно указать точку М₀(х₀, у₀), т. к. через нее проходит пучок интегральных кривых. Поэтому, чтобы

из семейства интегральных кривых выделить одну кривую К, следует помимо точки М₀(х₀, у₀) указать направление в котором кривая К проходит через точку М₀, т. е. задать tg ₀ угла образованного касательной к кривой К в точке М₀ и положительным направлением оси Ох, т. е. tg ₀ = у₀. Таким образом постоянные С₁ и С₂ общего решения уравнения (13.11) удовлетворяющего начальным условиям задачи Коши у (х₀) = у₀, у(х₀) = у₀ определяются из системы: