Сводная таблица по теме: «Дифференциальные уравнения»

№	Вид уравнения	Способ решения
Дифференциальные уравнения первого порядка
1.	Уравнение с разделяющимися переменными X₁ (x) Y₁(y) d y + + X₂(x)∙Y₂ (y) d y = 0.	а) X₁ (x) Y₁(y) d y = X₂(x)∙Y₂ (y) d y б) .
1.	y  = f₁(x)∙f₂(y).	а) , б) с)
2.	Однородное уравнение .	а) Вводится замена , т. е. y = u∙x, б) Получаем у = u x + u. в) подставляем в однородное уравнение: u x = f (u) – u. в) . г) Интегрируя найдем:
3.	Линейное уравнение у + р (х) у = f (x)	а) Введем замену: у (х) = u (x) v (x), тогда у  = u  (x) v (x) + u (x) v  (x). б) Получаем: u ∙v +u∙(v  + p (x)∙v) = g (x). в)
Дифференциальные уравнения второго порядка
4.	Допускающие понижение порядка: 1. у = f (x) не содержит явно у и у .	а) Вводим замену у  = р(х), у = р(х). б) в)
	2. у  = f (x, y ) не содержит явно у.	а) Полагая у  = р (х), у  = р(х), т. е. р = f (x, p) б) р (х) = φ (х, С₁). в) Интегрируем и получим
	3. у  = f (y, y ) не содержащим явно х	а) Полагая у  = р (у (х)). Тогда б) Подставляя в уравнение получим р р = f (y, p). в) Решая его, найдем р = φ (у, С₁), отсюда . г)
5.	Линейное однородное уравнение у  + р у + q y = 0	Составляем характеристическое уравнение: k²+ p k + q = 0. Если k₁ k₂, то Если k₁= k₂, то Если , то
6.	Линейное неоднородное уравнение у  + р у + q y = f (x), f (x) имеет специальный вид	1. Решаем соответствующее однородное уравнение у  + р у + q y = 0 2. По виду правой части уравнения записывается форма частного решения с неопределенными коэффициентами. 3. Таким образом сформированное частное решение подставляется в дифференциальное уравнение. 4. Из полученного тождества определяются значения коэффициентов. 5.

Содержание