Метод вариации произвольных постоянных

Пусть известно общее решение соответствующего однородного уравнения (13.14)

у₀=С₁у₁(х)+С₂у₂(х).

Найдем частное решение уравнения (13.13) данным методом. Будем искать частное решение неоднородного уравнения (13.13) в виде

(13.15)

рассматривая С₁ и С₂ как некоторые искомые функции от х.

Продифференцируем последнее равенство:

Для простоты подберем функции С₁ и С₂ так, чтобы выполнялось равенство

С¢₁(х)у₁(х)+С¢₂(х)у₂(х)=0.

Тогда предыдущее равенство примет вид

Дифференцируя это равенство найдем у¢¢

Подставляя выражения для у, у¢ и у¢¢ в уравнение (13.13) и группируя слагаемые, получим

Таким образом функция (13.15) является решением уравнения (13.13), если С₁(х) и С₂(х) удовлетворяют уравнениям системы

(13.16)

в которой С¢₁(х) и С¢₂(х)-неизвестны, а у₁, у₂, у¢₁, у¢₂, f(x)-известны. Так как определителем этой системы является определитель Вронского

составленный из линейно независимых решений у₁(х) и у₂(х) однородного уравнения (13.14), то он не равен нулю, а значит система (13.16) имеет единственное решение относительно С¢₁(х) и С¢₂(х). Решая эту систему получим

Интегрируя, найдем С₁(х) и С₂(х):

Подставляя их в (13.15) получим искомое частное решение уравнения (13.14).