13.7. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Определение. Уравнение вида
у + р у + q y = 0, (13.17)
где р, q вещественные числа, называется линейным однородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Определение. Пусть дано линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами (13.17).
Уравнение вида
k2 + p k + q = 0 (13.18)
называется характеристическим уравнением уравнения (13.17).
Т е о р е м а 13.6. (о частных решениях уравнения (13.17)).
Если число k действительный корень уравнения (13.18), то у = ekx является частным решением уравнения (13.17).
Если k1, 2 = ± i комплексно сопряженные корни уравнения (13.16), то функции являются частным решением уравнения (13.15).
Т е о р е м а 13.7. (об общем решении уравнения (13.17)).
Если корни характеристического уравнения (13.18) вещественные и различные (k1 k2), то общее решение уравнения (13.17) имеет вид
Если корни уравнения (13.18) вещественные и равные (k1 = k2), то общее решение уравнения (13.17) имеет вид
Если корни характеристического уравнения (13.18) комплексные , то общее решение (13.17) имеет вид
- 16. Дифференциальные уравнения
- 16.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
- 13.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям .
- 13.3. Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения однородные относительно переменных
- Линейные дифференциальные уравнения
- Уравнение Бернулли
- 13.4. Дифференциальные уравнения второго порядка
- 13.5. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка
- 13.6. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
- Метод вариации произвольных постоянных
- 13.7. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- 13.8. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
- 13.9. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов.
- Сводная таблица по теме: «Дифференциальные уравнения»
- Решение практических задач