13.8. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Определение. Уравнение вида

у ¢¢ + р у ¢ + q y = f (x) (13.19)

где р, q – вещественные числа, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Определение. Функцию f (x) будем считать специальной, если она представляет собой многочлен, или показательную функцию или тригонометрическую функцию sin bx или cos bx, или линейную комбинацию перечисленных функций.

Для уравнения (13.19) существует более простой метод нахождения частного решения , вид которого зависит от вида правой части f (x) этого уравнения.

Частное решение неоднородного уравнения может быть найдено по методу неопределенных коэффициентов:

1. по виду правой части уравнения (13.19) записывается форма частного решения с неопределенными коэффициентами;

2. затем таким образом сформированное частное решение подставляется в дифференциальное уравнение (13.19);

3. из полученного тождества определяются значения коэффициентов.

Запишем виды частных решений уравнения (13.19) для различных правых частей в виде таблицы.

Виды частных решений для различных правых частей линейных неоднородных дифференциальных уравнений

у  + р у  + q y = f (x)

Правая часть f (x)	Корни характеристического уравнения k²+ pk + q = 0	Вид частного решения
1. Р_n(x)	k_{1, 2} 0	Q_n(x)
	k₁= 0, k₂ 0	xQ_n(x)
	k_{1, 2}= 0	x²Q_n(x) Q_n(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
2. аe^^x	k_{1, 2} 	Ae^^x
	k₁= , k₂ 	Axe^^x
	k_{1, 2}= 	Ax²e^^x
3. e^^xP_n(x)	k_{1, 2} 	e^^xQ_n(x)
	k₁= , k₂ 	xe^^xQ_n(x)
	k_{1, 2}= 	x²e^^xQ_n(x) Q_n(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
4. а∙cos x а∙sin x а∙cos x + b sin x	k_{1, 2} ± i∙	А cos x + В sin x
4. а∙cos x а∙sin x а∙cos x + b sin x	k_{1, 2}= ± i∙	(А cos x + В sin x)∙ х, А, В – неопределенные коэффициенты.
5. P_n(x) cos x P_n(x) sin x P_n(x) (cos x + sin x)	k_{1, 2} ± i∙	R_n(x)cos x+S_n(x)sin x
5. P_n(x) cos x P_n(x) sin x P_n(x) (cos x + sin x)	k_{1, 2}= ± i∙	x(R_n(x)cos x+S_n(x)sin x) Q_n(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
6. e^^x cos x e^^x sin x e^^x (a cos x + b sin x)	k_{1, 2}  ± i∙	e^^x(А cos x + В sin x)
	k_{1, 2}=  ± i∙	e^^x х (А cos x + В sin x) А, В – неопределенные коэффициенты.
7. e^^xP_n(x) cos x e^^xP_n(x) sin x e^^xP_n(x) (cos x + sin x)	k_{1, 2}  ± i∙	e^^x(R_n(x)cos x+S_n(x)sin x)
	k_{1, 2}=  ± i∙	xe^^x(R_n(x)cos x+S_n(x)sin x) Q_n(x) – многочлен степени п с неопределенными коэффициентами.
8. e^^x(P_n(x)∙cos x + + Q_m(x)∙sin x)	k_{1, 2}  ± i∙	e^^x(R_d(x)∙cos x + S_d(x)∙sin x)
8. e^^x(P_n(x)∙cos x + + Q_m(x)∙sin x)	k_{1, 2}=  ± i∙	xe^^x(R_d(x)cos x+S_d(x)sin x) R_d(x), S_d(x) – многочлены степени d = max (n, m) с неопределенными коэффициентами.

Yandex.RTB R-A-252273-3

Содержание

Yandex.RTB R-A-252273-4