13.9. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Если решение дифференциального уравнения нельзя выразить через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближённого решения уравнения можно воспользоваться степенным рядом. Рассмотрим два способа решения дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

Способ последовательного дифференцирования.

Пусть требуется решить уравнение

у ¢¢ = f (x, y, y¢), (13.20)

решение которого удовлетворяет начальным условиям

y (х₀)= y₀, y ¢(х₀) = y¢₀ (13.21)

Решение данного уравнения найдём в виде ряда Тейлора:

(13.22)

В котором первые два коэффициента сразу определяются из начальных условий (13.21). Подставив в уравнение (13.20) значения х = х₀, y = y₀, y ¢ = y¢₀ , находим третий коэффициент Путём последовательного дифференцирования уравнения (13.20) и вычисления производных при х = х₀ найдём значения Найденные значения производных (коэффициентов) подставляем в разложение (13.22), которое представляет искомое частное решение уравнения (13.20) для тех значений х, при которых он сходится. Частичная сумма ряда, стоящего в правой части (13.22) и будет приближённым решением исходного дифференциального уравнения.

Метод неопределённых коэффициентов.

Этот способ приближённого решения удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами. Пусть требуется решить уравнение:

у ¢¢ + р (х) у ¢ + q (x) y = f (x), (13.23)

с начальными условиями х = х₀, y = y₀, y ¢ = y¢₀ .

Искомое решение ищем в виде степенного ряда с неопределёнными коэффициентами

(13.24)

предполагая, что функции р (х), q (x) и f (x) разлагаются в сходящиеся к ним степенные ряды.

Коэффициенты а₀ и а₁ находим из начальных условий:

а₀ = y₀, а₁= y¢₀.

Последующие коэффициенты разложения (13.24) находим, дифференцируя равенство (13.24) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для функции у и её производных в исходное уравнение (13.23), заменив в нём р (х), q (x), f (x) их разложениями. В результате получается тождество, из которого определяются недостающие коэффициенты методом неопределённых коэффициентов. Полученный ряд имеет тот же интервал сходимости и служит решением уравнения (13.23)