Линейные дифференциальные уравнения

Определение. Уравнение вида

у + р (х) у = f (x), (13.9)

где р (х) и f (x)  непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если f (x)  0, то уравнение (13.9) называется линейным однородным уравнением. Если f (x)  0, то уравнение (13.9) называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением.

Для нахождения общего решения уравнения (13.9) можно пользоваться следующим способом.

Будем искать решение у (х) уравнения (13.9) в виде

у (х) = u (x)·v (x), (13.10)

где u (x) и v (x) – неизвестные функции, одна из которых, например v (x), может быть выбрана произвольно. Подставляя у (х) в форме (13.10) в уравнение (13.9), учитывая, что у = u (x)·v(x) + u(x)·v (x), получим:

u ∙v + u∙v  + p (x)∙u∙v = g (x).

После элементарных преобразований получим

u ∙v + u∙(v  + p (x)∙v) = g (x).

Выберем в качестве v (x) любое частное решение v (x)  0 уравнения

v  + p (x)∙v = 0,

Тогда u ∙v = g (x).

Итак, решение уравнения (13.9) сводится к решению системы дифференциальных уравнений (сначала решается первое уравнение, затем второе)

Зная u (x) и v (x), найдем решение у (х) по формуле (13.10) уравнения (13.9).