Симметрическая группа

Пусть X – конечное множество из n элементов, т.е. . Поскольку мы договорились не говорить, что из себя представляют элементы множества X, то пусть.

Рассмотрим биективное отображение множества X в X. Обозначим– множество всех биективных отображений X в X.

Покажем, что – группа. Она называется симметрической группой или группой перестановок.

Определение. Биективное отображение  конечного множества Х в Х называется перестановкой (подстановкой).

Обычно перестановка  изображается в виде следующей таблицы

, (2.25)

состоящей из области определения перестановки (прообразов) – верхняя строка, и области значений (образов)перестановки – нижняя строка, или

, (2.26)

где – переставленные соответствующим образом символы. Еслиn – фиксировано, то часто в записи перестановки используется только последняя строка, которая однозначно определяет перестановку.

Пример. Для обозначения перестановок используются символы ,,,... . Пусть , тогда перестановкупредставим в виде:

.