§. Абсолютная сходимость.

Def: Несобственный интеграл называется сходящимся абсолютно, если сходится интеграл от модуля подынтегральной функции.

Т⁰. Абсолютно сходящийся интеграл сходится.

 Пусть интеграл сходится (по критерию Коши)

, но и,

следовательно, . ▲

Т⁰. Для интегралов от неотрицательных функций сходимость эквивалентна ограниченности в совокупности интегралов по всем замкнутым промежуткам и, при этом, если

.

 Пусть  . Кроме того, функцияне убывает

. Поэтому . ▲

Т⁰. Замена переменной со строго монотонной функцией. Если строго монотонная функция, то заменасохраняет абсолютную сходимость интеграла.

. Если функция не убывающая, тои, следовательно,

.

Крайние члены этой цепочки одновременно сходятся или расходятся. ▲

Замечание:Интегрирование по частям в общем случае не сохраняет абсолютную сходимость.

Пример: Рассмотрим . При этом, интеграл справа сходится абсолютно, а интеграл слева не сходится абсолютно. Мы это установим несколько позже.