§ 1. Отношение делимости в целостных кольцах.

Стандартные свойства отношения делимости.

Обратимые элементы (делители единицы) кольца.

Теорема 1. Множество G обратимых элементов кольца образует коммутативную группу относительно операции умножения.

Отношение ассоциированности. ~.

Простые и составные элементы кольца.

Теорема 2. Свойства отношения ассоциированности.

1°. Критерий ассоциированности: a ~ b Û a bÙb a.

2°. Отношение ассоциированности является отношением эквивалентности.

3°. Классы эквивалентности по отношению ассоциированности имеют вид К_а = aG.

4°. a ~ a₁ Ù b ~ b₁ Ù a b Þ Ù a₁ b₁.

5°. p ~ a Ùp – простой элемент Þ a – простой элемент.

6°. a ~ bÙa – составной элемент Þ b – составной элемент.

Теорема 3. Связь главных идеалов с теорией делимости.

1°. a b Û (a)Ì(b).

2°. a ~ b Û (a) = (b).

Делимость идеалов. НОД и НОК идеалов.

Теорема 4. Существование НОД и НОК идеалов.

1°. Любые два идеала кольца имеют НОД. Им является сумма этих идеалов.

2°. Любые два идеала кольца имеют НОК. Им является пересечение этих идеалов.