Раздел 4. Численное интегрирование §. Формулы прямоугольников, трапеций и парабол (Симпсона)

З

а) б) в)

а) Заменим f(x) для x[–, ] постоянной величиной по значению равной значению f(x) в средней точке. Тогда .

б) Заменим f(x) для x[–, ] многочленом первой степени, который на концах промежутка совпадает со значениями интегрируемой функции. Тогда .

в) Заменим f (x) для x[–, ] многочленом второй степени, совпадающим с интегрируемой функцией на концах и в середине промежутка интегрирования:

Ищем  .

Т.е. ;

И получаем: .

.

Задача 2. Получить формулы для вычисления .

Р

равных частей, точками х₀, х₁, х₂, … , х_n. Обозначим у_k = f(x_k), k = 0, 1, 2, …, n; . Error: Reference source not foundНа каждом отдельном промежутке воспользуемся полученными выше формулами для S₁, S₂, S₃ и просуммируем по всем промежуткам. Получим:

;

;

.

Полученные формулы носят название формул:

а) прямоугольников; б) трапеций; в) парабол (Симпсона).

Эти формулы, естественно, являются приближенными и, возникает вопрос: каким должно быть выбрано n, чтобы обеспечить необходимую точность вычисленного значения интеграла?