Приложение Алгоритмы решений уравнений третьей и четвертой степеней (формулы Кардано и Феррари)
Рассмотрим уравнение третей степени
1)
где х - неизвестная величина, - заданные числа ( ), причем 0.
Сделаем это уравнение приведенным:
где . Это уравнение можно преобразовать в неполное кубическое уравнение, использовав замену
г де у – новая неизвестная величина. . Итак, имеем неполное приведенное кубическое уравнение
корни которого вычисляются по формуле Кардано:
5)
Корни в этой формуле берутся как вещественные, так и комплексные. При этом для каждого из значений корня нужно брать то значение корня , для которого выполняется условие:
,
которое всегда существует. В самом деле, .
Перебирая все такие значения, можно найти все три корня уравнения 4) по формуле 5), а именно:
7)
где (комплексные корни из единицы). Соотношения 7) используют то положение из комплексного анализа, что все значения корня n-ой степени из комплексного числа можно получить умножением одного из этих значений на все корни n-ой степени из единицы(см. §1, формула (1.2)).
Пусть коэффициенты уравнения 4) p и q - действительные числа. В этом случае определяющее значение имеет выражение, расположенное под квадратным радикалом.
8) .
1). При >0 уравнение 4) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня. В самом деле, если p,qR, то в формуле 5) под знаком квадратного радикала будет действительное положительное число, а потому под знаком каждого из кубических радикалов будут действительные числа. Корень третьей степени как раз и имеет одно действительное значение и два комплексно сопряженных.
2). При и все корни уравнения 4) действительны, причем два из них равны между собой. В самом деле, при в соотношении 7) имеем:
3). Пусть <0, тогда уравнение 4) имеет три различных действительных корня. Заметим, что искать эти корни по формуле Кардано надо с использованием операции извлечения кубического корня из комплексного числа, а это возможно с переходом к тригонометрической форме комплексного числа. Однако, корни уравнения при <0 действительны и для их нахождения проще использовать другие частные способы решений уравнений высших степеней. Для определения числа действительных корней уравнения 4) при p,qR роль выражения для самодостаточна. Кроме того, при =0 устанавливается и кратность одного из корней уравнения 4).
Пример.1. Решить уравнения:
Решения. а). Используя замену 3) получим:
= Здесь p=-6, q=-9; поэтому ,
>0, что означает наличие в исходном уравнении одного действительного и двух комплексно сопряженных корней. Находим их:
2=2. Избегая дальнейшего нахождения корней с помощью комплексных чисел, определим с помощью квадратного уравнения, которое получим, разделив уравнение (*) на разность у-3 по схеме Горнера.
| 1 | 0 | -6 | -9 |
С=3 | 1 | 3 | 3 | 0 |
Так как х = у-1, то имеем окончательно:
Ответ:
Замечание. Частным способом решения данного уравнения может служить метод группировки:
стало быть, уравнение имеет три действительных корня, один из которых кратный. Находим эти корни:
Ответ:
Замечание. Частным способом решения данного уравнения может служить отбор делителей свободного члена. Делители свободного члена суть: Находим f(1)=1-12+16=5, f(-1)=-1+12+16=27. Так как не являются корнями данного уравнения, то для (-2) имеем:
Далее получаем квадратное уравнение, разделив исходное на двучлен (х+4).
| 1 | 0 | -12 | 16 |
С=-4 | 1 | -4 | 4 | 0 |
<0 уравнение имеет три разных действительных корня, нахождение которых в области действительных чисел по формуле Кардано невозможно, а потому реализуем частный способ решения –метод группировки:
Рассмотрим уравнение четвертой степени
9)
где х - неизвестная величина, - заданные числа Сделаем это уравнение приведенным:
10)
Полученное уравнение с помощью замены
11)
сводится к неполному уравнению
12)
где новые коэффициенты p,q,r – определяются после соответствующих преобразований уравнения 10). Для нахождения корней уравнения 9) достаточно решить полученное уравнение 12). Способ Феррари заключается в том, что для уравнения 12) составляется так называемая кубическая резольвента:
13)
Затем находится один из корней этого уравнения и составляются два квадратных уравнения:
корни которых являются корнями уравнения 12).
Пример 2. Решить уравнение
Решение. Пусть Тогда имеем:
Составим кубическую резольвенту полученного уравнения, в котором p=1, q=4, r=-3. Итак, имеем: где один из корней =1, а потому имеем два квадратных уравнения:
Так как х=у+1, то имеем окончательно:
Замечание 1. Находя действительные корни уравнения четной степени, надо сначала убедится в их наличии. В нашем примере: , (++++-) j=1; стало быть, наличие пары корней с разными знаками гарантировано (что касается наличия комплексных корней, то можно лишь сказать, что они не исключаются, так как 16>7, 49>8, 4>-35).
Замечание 2. При решении различных уравнений третьей и четвертой степеней можно использовать фрагменты алгоритмов Кардано и Феррари.
Упражнение 1. Решить уравнение
Ответ: {-1;3;3;3}.
Упражнение 2. Решить уравнение
Ответ: {4}.
- Раздаточный материал №5 Уравнения высших степеней Содержание
- Имеющие алгоритмы решения
- §2. Рациональные корни целочисленных уравнений
- 2.1.Деление многочленов
- 2.2. Теорема Безу и схема Горнера
- Очень важным является следствие из теоремы Безу: число ‘с’ тогда и только тогда будет корнем многочлена (уравнения ), если делится на разность .
- 2.3. Основная теорема алгебры и ее следствия
- 2.4. Нахождение целых корней
- 2.5. Нахождение дробных корней
- §3. Общий подход к решению уравнений высших степеней
- §4.Точное определение числа действительных корней в уравнении, их отделение и оценка
- Ответы к упражнениям
- Литература
- Приложение Алгоритмы решений уравнений третьей и четвертой степеней (формулы Кардано и Феррари)