2.4. Нахождение целых корней

Вспомним формулы Виета для квадратного (пусть приведенного) уравнения :

(2.10)

Эти формулы обобщаются и на уравнения более высоких степеней. Например, для кубического уравнения имеем:

(2.11)

Для дальнейшего изложения определяющим фактором служит соотношение, связывающее произведение всех корней уравнения, которое в общем виде можно записать так:

(2.12) ,

где - свободный член, - степень уравнения, а - его корни.

Из этого соотношения следует: если целое число является корнем уравнения (многочлена), то оно будет служить делителем свободного члена. Таким образом, если целочисленный многочлен обладает целыми корнями, то они будут находиться среди делителей свободного члена. Необходимо, следовательно, испытывать всевозможные делители свободного члена как положительные, так и отрицательные; если ни один из них не является корнем многочлена, то целых корней многочлен не имеет вовсе.

Испытание всех делителей свободного члена может оказаться весьма громоздким, если даже значения многочлена будут вычисляться по схеме Горнера, а не непосредственной подстановкой каждого из делителей вместо неизвестной. Однако, эту операцию испытания делителей свободного члена на предмет обнаружения целого корня исходного уравнения можно упростить. Прежде всего, заметим, что всегда являются делителями свободного члена. Вычисления и не вызывают затруднений. Если целое число является корнем для многочлена , то . При имеем , а при имеем , откуда следует, что:

(2.13) , ,

то есть и должны быть целыми числами, при некоторых значениях . Таким образом, подлежат испытанию лишь те делители свободного члена (из числа отличных от ), для которых каждое из частных ( и ) является целым числом, то есть , .

Пример 2.4. Найти целые корни многочлена .

Решение. Свободный член (-6) имеет делители: ; ; ; . ; ; пусть , тогда , ; пусть , тогда ; пусть , тогда , ; следовательно, . В самом деле, . Проверим, не является ли этот корень кратным: , ; стало быть, является простым корнем. Делим исходный многочлен на разность по схеме Горнера:

Стало быть, и .

Ответ: .

Пример 2.5. Найти целые корни многочлена .

Решение. , ; пусть , тогда , ; пусть , тогда ; стало быть, целых корней исходный многочлен не имеет.

Ответ: ø .

Упражнения 2.4. Найти целые корни многочленов:

а). ,

б). ,

в). .