Очень важным является следствие из теоремы Безу: число ‘с’ тогда и только тогда будет корнем многочлена (уравнения ), если делится на разность .

При делении многочлена на линейный двучлен можно использовать метод, более простой, чем общий алгоритм деления многочленов «уголком». Этот метод называется схемой Горнера и заключается в следующем. Пусть в соотношении (2.4): - участвующие многочлены имеют вид: ; ; ; ; а неполное частное , то есть имеем:

(2.6) .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в этом соотношении, получим:

(2.7)

Таким образом, начальные коэффициенты искомого и исходного многочленов равны , все последующие коэффициенты искомого многочлена получаются умножением предыдущего коэффициента на ‘c’ и прибавлением соответствующего коэффициента , то есть ; остаток получается по такому же правилу. Эти вычисления удобно производить, заполняя приведенную ниже таблицу, которая и называется схемой Горнера.

В верхней строке таблицы записываем известные коэффициенты многочлена f(x); ниже пишем получаемые по формулам (2.7) соответствующие коэффициенты искомого многочлена и остаток от деления; слева сбоку размещаем число ‘c’.

Пример 2.2. Разделить f(x) на разность x-3, если

Решение. Составляем схему Горнера:

Ответ: ; .

Замечание: остаток ‘r’ равен значению искомого многочлена f(x) при x=c, то есть r=f(с), а потому схема Горнера может применяться и для быстрого нахождения частных значений многочлена f(x) при различных ‘c’.

Упражнения 2.2. Разделить многочлен f(x) на разность x-c, если:

а).

б).