2.3. Основная теорема алгебры и ее следствия

Процесс нахождения рациональных корней целочисленного многочлена (уравнения), если они, конечно, есть, связан с содержанием основной теоремы алгебры, которая утверждает, что всякий многочлен с действительными коэффициентами имеет столько корней, какова его степень; при этом корни могут быть кратными, а также комплексными.

Отметим некоторые следствия этой теоремы, используемые для получения рациональных корней целочисленных многочленов.

I-ое следствие: если комплексное число служит корнем некоторого многочлена (уравнения), то корнем для этого многочлена будет и число , комплексно сопряженное числу .

Таким образом, если многочлен имеет комплексные корни, то они попарно сопряжены, а это, в свою очередь, дает

II-ое следствие: многочлен нечетной степени имеет по крайней мере один действительный корень.

III-ье следствие: всякий многочлен с действительными коэффициентами представим, притом единственным образом ( с точностью до порядка сомножителей), в виде произведения своего старшего коэффициента и нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида , соответствующим его действительным корням , и квадратных вида: , соответствующим парам сопряженных комплексных чисел и , то есть:

(2.9) ,

где и означает кратность некоторого действительного корня . Пары комплексно сопряженных корней тоже могут быть кратными.

Определить кратность известного действительного корня можно с помощью производной от исходного многочлена, а именно: кратность корня определяется порядком производной, для которой он уже не является корнем.

Пример 2.3. Известно, что есть корень многочлена ; определить кратность этого корня.

Решение. Проверим, что есть корень исходного многочлена: ; далее: , ; ; , , следовательно, кратность корня равна 3.

Ответ: k=3.

Если известен один действительный корень некоторого многочлена, то деление на разность дает многочлен, степень которого на единицу ниже. Если же кратность корня равна ‘k’, то при делении исходного многочлена на выражение получим многочлен, степень которого на ‘k’ порядков ниже.

Упражнение 2.3. Многочлен имеет корни Установить их кратность.