Приложение Алгоритмы решений уравнений третьей и четвертой степеней (формулы Кардано и Феррари)

Рассмотрим уравнение третей степени

1)

где х - неизвестная величина, - заданные числа ( ), причем 0.

Сделаем это уравнение приведенным:

где . Это уравнение можно преобразовать в неполное кубическое уравнение, использовав замену

г де у – новая неизвестная величина. . Итак, имеем неполное приведенное кубическое уравнение

корни которого вычисляются по формуле Кардано:

5)

Корни в этой формуле берутся как вещественные, так и комплексные. При этом для каждого из значений корня нужно брать то значение корня , для которого выполняется условие:

6. ,

которое всегда существует. В самом деле, .

Перебирая все такие значения, можно найти все три корня уравнения 4) по формуле 5), а именно:

7)

где (комплексные корни из единицы). Соотношения 7) используют то положение из комплексного анализа, что все значения корня n-ой степени из комплексного числа можно получить умножением одного из этих значений на все корни n-ой степени из единицы(см. §1, формула (1.2)).

Пусть коэффициенты уравнения 4) p и q - действительные числа. В этом случае определяющее значение имеет выражение, расположенное под квадратным радикалом.

8) .

1). При >0 уравнение 4) имеет один действительный и два комплексно сопряженных корня. В самом деле, если p,qR, то в формуле 5) под знаком квадратного радикала будет действительное положительное число, а потому под знаком каждого из кубических радикалов будут действительные числа. Корень третьей степени как раз и имеет одно действительное значение и два комплексно сопряженных.

2). При и все корни уравнения 4) действительны, причем два из них равны между собой. В самом деле, при в соотношении 7) имеем:

3). Пусть <0, тогда уравнение 4) имеет три различных действительных корня. Заметим, что искать эти корни по формуле Кардано надо с использованием операции извлечения кубического корня из комплексного числа, а это возможно с переходом к тригонометрической форме комплексного числа. Однако, корни уравнения при <0 действительны и для их нахождения проще использовать другие частные способы решений уравнений высших степеней. Для определения числа действительных корней уравнения 4) при p,qR роль выражения для самодостаточна. Кроме того, при =0 устанавливается и кратность одного из корней уравнения 4).

Пример.1. Решить уравнения:

Решения. а). Используя замену 3) получим:

= Здесь p=-6, q=-9; поэтому ,

>0, что означает наличие в исходном уравнении одного действительного и двух комплексно сопряженных корней. Находим их:

2=2. Избегая дальнейшего нахождения корней с помощью комплексных чисел, определим с помощью квадратного уравнения, которое получим, разделив уравнение (*) на разность у-3 по схеме Горнера.

Так как х = у-1, то имеем окончательно:

Ответ:

Замечание. Частным способом решения данного уравнения может служить метод группировки:

стало быть, уравнение имеет три действительных корня, один из которых кратный. Находим эти корни:

Ответ:

Замечание. Частным способом решения данного уравнения может служить отбор делителей свободного члена. Делители свободного члена суть: Находим f(1)=1-12+16=5, f(-1)=-1+12+16=27. Так как не являются корнями данного уравнения, то для (-2) имеем:

Далее получаем квадратное уравнение, разделив исходное на двучлен (х+4).

<0  уравнение имеет три разных действительных корня, нахождение которых в области действительных чисел по формуле Кардано невозможно, а потому реализуем частный способ решения –метод группировки:

Рассмотрим уравнение четвертой степени

9)

где х - неизвестная величина, - заданные числа Сделаем это уравнение приведенным:

10)

Полученное уравнение с помощью замены

11)

сводится к неполному уравнению

12)

где новые коэффициенты p,q,r – определяются после соответствующих преобразований уравнения 10). Для нахождения корней уравнения 9) достаточно решить полученное уравнение 12). Способ Феррари заключается в том, что для уравнения 12) составляется так называемая кубическая резольвента:

13)

Затем находится один из корней этого уравнения и составляются два квадратных уравнения:

корни которых являются корнями уравнения 12).

Пример 2. Решить уравнение

Решение. Пусть Тогда имеем:

Составим кубическую резольвенту полученного уравнения, в котором p=1, q=4, r=-3. Итак, имеем: где один из корней =1, а потому имеем два квадратных уравнения:

Так как х=у+1, то имеем окончательно:

Замечание 1. Находя действительные корни уравнения четной степени, надо сначала убедится в их наличии. В нашем примере: , (++++-) j=1; стало быть, наличие пары корней с разными знаками гарантировано (что касается наличия комплексных корней, то можно лишь сказать, что они не исключаются, так как 16>7, 49>8, 4>-35).

Замечание 2. При решении различных уравнений третьей и четвертой степеней можно использовать фрагменты алгоритмов Кардано и Феррари.

Упражнение 1. Решить уравнение

Ответ: {-1;3;3;3}.

Упражнение 2. Решить уравнение

Ответ: {4}.

27