4.Тригонометрические функции.

В соответствии с формулой Эйлера:

(1)

(2)

Тригонометрические функции комплексного переменного по аналогии с (2) задаются как

(3)

Из сравнения (2) и (3) следует, что на множестве вещественных чисел соотношение (3) задает обычные тригонометрические функции.

Функции sin(z) и cos(z) – аналитические функции на всей комплексной плоскости, так как представляют собой линейную комбинацию показательных функций. При этом

. Аналогично .

sin(z) и сos(z) – тригонометрические функции периода 2, действительно:

.

Аналогично для sin(z).

Справедливы все известные тригонометрические тождества:

и т. д.

Определим, что в отличие от функции вещественного переменного функции cos(z) и sin(z) не ограничены по модулю.