Обобщенное преобразование фурье. Преобразование лапласа.

Выпишем прямое и обратное преобразование Фурье. (1)

(2)

В соответствии с приведенной теоремой функция f(t) преобразуется по Фурье если:

1. f(t) – кусочно – непрерывная кусочно – дифференцируемая функция.

2. f(t) удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, т. е.

.

Большинство элементарных функций не удовлетворяют условию абсолютной интегрируемости и, следовательно, не преобразуются по Фурье. Однако с помощью простых преобразований можно обобщить преобразование Фурье на многие функции. Поступают так. Функцию f(t) умножают на , где с подбирают так, чтобы обеспечить абсолютную интегрируемость. Запишем условие абсолютной интегрируемости для функции:

Наименьшее из чисел с или предел к которому стремится с, для которых

- существует (конечен) называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается .

Запишем , (3)

Равенство (3) задает одностороннее преобразование Фурье. В соответствии с (2) обратное одностороннее преобразование Фурье задается равенством:

(4)

При переходе от преобразования Фурье к одностороннему преобразованию Фурье уменьшается интервал определения функции f(t), которая теперь определена в области . Такое усечение интервала определения с физической точки зрения оправдывается тем, что в технических системах все процессы имеют начало, момент начала которого можно совмести с точкой . Объединим в одностороннем преобразовании (3) множитель с ядром преобразования : (5)

Равенство (5) задает обобщенное преобразование Фурье. Оно позволяет по вещественной функции f(t) построить комплексную функцию F(с+iw). Найдем преобразование обратное к преобразованию Фурье. Перепишем (4) в виде:

(6)

Умножим (6) на :

, (7) – позволяет по комплексной функции F(c+iw) восстановить вещественную функцию f(t) и называется обратным обобщенным преобразованием Фурье.

Введем комплексную переменную s=c+iw, тогда равенства (5) и (7) принимают вид:

(8)

(9)

Равенства (8) и (9) задают соответственно прямое и обратное преобразование Лапласа. В равенстве (9) пределы интегрирования показывают, что интегрирование ведется вдоль прямой Res=c.

Рис.1

В преобразовании Лапласа функцию f(t) называют оригиналом, а функцию F(s) – изображением.

Символически преобразование Лапласа записывается в виде :

Для обратного преобразования используется соотношение:

Преобразование Лапласа позволяет перейти от оригинала к изображению. Переход от оригинала к изображению позволяет упростить ряд математических операций, в том числе решение линейных дифференциальных уравнений.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА.

ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА.

Функция называется оригиналом, если:

1) ;

2) - кусочно-гладкая кусочно-непрерывная функция;

3) существует показатель роста, т. е. найдутся такие числа и , что . (*)

Наименьшее из чисел или предел, к которому стремится наименьшее число, для которого справедливо равенство (*), называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается .

В дальнейшем под изображением будем понимать:

.

Такое уточнение изображения никак не сказывается на выполнении прямого и обратного преобразования Лапласа. Оно проявляет себя лишь в некоторых свойствах преобразования Лапласа.

Теорема 1.

Если является оригиналом, то изображение определено в области и является в этой области аналитической функцией.

Первая часть теоремы, утверждающая существование изображения в области , непосредственно следует из обобщенного преобразования Фурье. Докажем, что изображение в этой области является аналитической функцией.

продифференцируем по s

.

Переходя к дифференцированию под знаком интеграла, получим

.

Покажем, что интеграл существует. Оценим

Т. о. получили, что интеграл существует, следовательно, производная существует при можно взять сколь угодно близким числу . Отсюда следует, что существует в области Теорема доказана.

Теорема 2(основная теорема об обратном преобразовании Лапласа).

Если функция является оригиналом, а - изображение функции , то в каждой точке t непрерывности функции

Доказательство этой теоремы следует из обобщенного преобразования Фурье. Она уточняет, что обратное преобразование Лапласа сходится к только в точках непрерывности функции . В точках разрыва обратное преобразование Лапласа сходится к среднему значению.

ЛЕКЦИЯ 12

План лекции

1. Изображение некоторых элементарных функций.

2. Линейность преобразования Фурье.

3. Теоремы об изображении производной и интеграла.

4. Теоремы об изменении масштаба, смещения в комплексной области.

ИЗОБРАЖЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1.Найдем преобразование Лапласа функции 1(t): L[1(t)].

L[1(t)] = при Res > 0 ( )

, при с >0

L[1(t)] = , при Res > 0 .

2. Найдем преобразование Лапласа функции sint: L[sint].

L[sint] =

,

при с > 0, > 0 .

Приведем таблицу соотношений оригинал-изображение.