Дискретное преобразование лапласа.

Z – ПРЕОБРАЗОВАНИЕ.

В прикладных исследованиях, связанных с использованием решетчатых функций, широко применяется дискретное преобразование Лапласа (Д – преобразование) и Z – преобразование. По аналогии с обычным преобразованием Лапласа дискретное задается в виде

где (1)

Символически Д – преобразование записывается в виде

Для смещенных решетчатых функций

(2)

где - смещение.

Z – преобразование получается из Д – преобразования подстановкой и задается соотношением

(3)

Для смещенной функции

Функция называется оригиналом, если

1)

2) существует показатель роста, т. е. найдутся такие и , что

(4)

Наименьшее из чисел (или предел, к которому стремится наименьшее число), для которого справедливо неравенство (4), называется абсциссой абсолютной сходимости и обозначается

Теорема.

Если функция является оригиналом, то изображение определено в области Re p > и является в этой области аналитической функцией.

Покажем, что при Re p > ряд (1) абсолютно сходится. Имеем

т. к. указанная сумма представляет собой сумму членов убывающей геометрической прогрессии с показателем Известно, что такая прогрессия сходится. Величину можно взять сколь угодно близкой величине , т. е. первая часть теоремы доказана.

Вторую часть теоремы примем без доказательств.

Изображение является периодической функцией с мнимым периодом

При изучении изображения нет смысла рассматривать его на всей комплексной плоскости, достаточно ограничиться изучением в любой полосе шириной Обычно на комплексной плоскости используется полоса, которая называется основной. Т. о. Можно считать, что изображения определено в полу полосе

и является в этой полу полосе аналитической функцией.

Re p

Re p

Найдем область определения и аналитичности функции F(z), положив . Покажем, что полу полоса плоскости p преобразованием переводится в область на плоскости z: .

Действительно, отрезок , ограничивающий полу полосу на плоскости p, переводится на плоскости z в окрестность: .

Обозначим через линию, в которую преобразование переводит отрезок . Тогда

т. о.

окрестность .

Т. о. Z – преобразование F(z) определено в области и является в этой области аналитической функцией.

Обратное Д – преобразование позволяет по изображению восстановить решетчатую функцию

Im p

Re p

Докажем справедливость равенства.

Получим из равенства (5) формулу для обратного Z – преобразования. Воспользуемся подстановкой . Рассмотренным выше способом легко установить, что отрезок с помощью преобразования переводится на плоскости Z в окрестность

.

Тогда из (5) следует

(6)

Равенство (6) задает обратное Z – преобразование, т. е. позволяет по функции F(z) восстановить решетчатую функцию f(nT).

Т. к. , то все особые точки функции F(z) и, следовательно, функции лежат внутри окрестности

Из (6) следует, что

Вычеты берутся по всем особым точкам.