спец главы лекции

3. Дифференцируемость и аналитичность.

Пусть в некоторой окрестности точки задана однозначная функция . Говорят, что существует предел функции f(z) при ( ), если существуют следующие пределы функции вещественного переменного: , .

При этом число называется пределом функции f(z) при , т.е. = .

В соответствии с определением предел не зависит от того каким способом z стремится к . Поскольку предел функции комплексного переменного сводится к двум пределам вещественного переменного, то сохраняются правила предельного перехода:

Функция f(z) называется непрерывной в точке , если

Функция f(z) называется непрерывной в точке , если для любого .>0 найдется такое (), что из условия следует, что .

Функция f(z) называется дифференцируемой в точке , если существует предел .

Рассмотрим условия, при которых функция f(z) является дифференцируемой. Пусть функция однозначно определена в окрестности точки z=x+iy.

Теорема 1. Для того чтобы функция была определена в точке z=x+iy необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

в этой точке должны быть дифференцируемы функции U(x,y), V(x,y);
должны выполнятся условия Коши-Римана:

Докажем необходимость. Предположим, что функция f(z) имеет точке z производную, т.е. существует предел: , где h=s+it. Воспользуемся независимостью предела от способа стремления точки z+h к точке z (рис. 6). Положим h=s.

Рис. 6

По определению:

Примем, что точка z+h стремится к точке z вдоль прямой параллельной мнимой оси (h=it)(рис. 7).

Имеем:

р ис.7

, .

Необходимость доказана, достаточность примем без доказательства.

С учетом условия Коши –Римана можно записать:

Поскольку для функций комплексного переменного сохраняются общие правила предельного перехода, то сохраняют свою силу и общие правила дифференцирования:

предельного перехода:

Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке области D.

Функция f(z) называется аналитической в точке а, если найдется такая окрестность точки а: , в которой она дифференцируема.

Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке области D.

Содержание