Элементарные функции комплексного переменного.

1. -эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости. По определению:

2. Показательная функция .

Зададим ее равенством . Из равенства следует, что на множестве вещественных чисел показательная функция определяется обычным образом. Рассмотрим произведения:

При перемножении показательных функций их показатели складываются. Функция является аналитической функцией на всей комплексной плоскости. Проверим условия Коши –Римана:

, где ,

.

, .

Условия Коши-Римана выполняются в каждой точке плоскости z. Воспользуемся .

.

Положим z=iy. Из определения следует: - формула Эйлера. С помощью формулы Эйлера любое комплексное число можно задать в показательной форме. В соответствии с тригонометрической формой записи:

- показательная форма записи комплексного числа.

Функция - является периодической функцией с чисто мнимым периодом 2i. Действительно:

При изучении показательных функций нет смысла рассматривать их на всей комплексной плоскости. Достаточно ограничиться рассмотрением в любой полосе шириной 2. Обычно ограничиваются рассмотрением в полосе

, которая называется основной (рис. 1).

Р ис. 1